Физика в примерах и задачах

Расположенный горизонтально цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, разделён поршнем, который может двигаться без трения. В равновесии поршень находится посредине цилиндра. При малых смещениях из положения равновесия поршень совершает колебания. Найти зависимость частоты этих колебаний от температуры, считая процесс изотермическим.

В положении равновесия давление p на поршень слева и справа одинаково. Поскольку объём газа слева и справа одинаков, а температура T постоянна, из уравнения Менделеева - Клапейрона

pV

=

RT

(1)

следует, что количество газа одинаково по обе стороны от поршня. Отметим, что химический состав газов может быть различным.

Рис. 3.1. Изменение давления при смещении поршня из равновесного положения

Пусть поршень сместился из положения равновесия, например влево, на малую величину x, так что SxS - площадь поршня (рис. 3.1). Поскольку температура по условию не меняется, то

(p+

p)

(V-Sx)

=

(p-

p)

(V+Sx)

.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим

(

p+

p)V

-

(

p+

p)Sx

=

2pSx

.

Второе слагаемое слева много меньше первого не только потому, что Sx, но и вследствие того, что множителем при V стоит сумма двух близких величин p и p, а множителем при Sx - их разность. Пренебрегая вторым слагаемым, получаем

p

+

p

=

2pS

V

x

.

Результирующая сила, действующая на поршень, равна

F

=-

2pS^2

V

x

.

Знак минус означает, что сила направлена в сторону, противоположную направлению смещения поршня, т.е. к положению равновесия. Под действием силы, пропорциональной смещению, поршень массой M будет совершать гармонические колебания с частотой , определяемой соотношением

^2

=

2pS^2

VM

.

(2)

При решении задачи мы молчаливо предполагали, что масса газа много меньше массы поршня, так что кинетической энергией макроскопического движения газа при колебаниях поршня можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией поршня. Подумайте, где использовано это условие.

Выразив p из уравнения Менделеева - Клапейрона (1), получим

^2

=

2RS^2

VM^2

T

.

(3)

Таким образом, частота колебаний поршня пропорциональна T ибо коэффициент при T в формуле (3) не зависит от температуры, если пренебречь тепловым расширением сосуда.

Подумайте теперь, какие условия должны выполняться, чтобы процесс действительно был изотермическим. Для того чтобы температура газа в процессе колебаний не изменялась, необходим хороший тепловой контакт с большим тепловым резервуаром - термостатом, имеющим постоянную температуру. Что значит хороший тепловой контакт? Это значит, что время установления термодинамического равновесия между газом в сосуде и термостатом должно быть много меньше периода колебаний поршня. Тогда можно считать, что газ в каждый момент имеет ту же температуру, что и термостат. Если, наоборот, период колебаний окажется много меньше времени установления термодинамического равновесия между газом и термостатом, то можно считать, что колебания поршня происходят практически без обмена теплотой с термостатом. В этом случае процесс можно считать адиабатическим, несмотря на отсутствие тепловой изоляции сосуда с поршнем. Оказывается, что зависимость частоты колебаний от температуры при этом будет такой же, как и в изотермическом случае, только коэффициент в формуле (3) умножится на число, большее единицы. Увеличение частоты колебаний при адиабатическом процессе можно объяснить, сравнивая p-V - диаграммы изотермического и адиабатического процессов идеального газа.

Отметим, что приведённое решение в обоих случаях имеет смысл, только если время установления теплового равновесия в самом газе много меньше периода колебаний поршня, так как в противном случае вообще теряют смысл такие равновесные макроскопические характеристики газа, как давление и температура. Другими словами, по отношению к самому газу процесс должен быть квазистатическим.

4. Поршень в закрытом цилиндре.

В вертикальном закрытом цилиндре имеется поршень, который может перемещаться без трения (рис. 4.1). По обе стороны от поршня находятся одинаковые массы одного и того же газа. При температуре T, одинаковой во всём цилиндре, объём верхней части в n раз больше, чем объём нижней. Каким будет отношение этих объёмов, если повысить температуру до значения T'?

Рис. 4.1. По обе стороны подвижного поршня - одинаковые массы одного и того же газа

На примере этой задачи можно увидеть, как важно уметь выразить в виде уравнений те условия, при которых происходит описанный в задаче процесс, но которые не указаны явно в условии задачи.

Первый вопрос, который возникает, - нужно ли учитывать массу поршня, о которой ничего не сказано в условии. Если бы масса поршня равнялась нулю, то при любой температуре поршень в равновесии располагался бы посредине, чтобы давление газа на него с обеих сторон было одинаковым. Поэтому если n=1, то масса поршня равна нулю и отношение объёмов, равное единице, не изменяется при изменении температуры.