Физика в примерах и задачах

При n1 масса поршня не равна нулю. В этом случае в равновесии действующая на поршень сила тяжести уравновешивается силами давления газа снизу и сверху. Поэтому разность давлений газа в нижней и в верхней частях цилиндра имеет одно и то же значение при любой температуре. Таким образом, мы приходим к первому уравнению, отражающему условие механического равновесия поршня в начальном и конечном состояниях. Обозначая давление газа над и под поршнем при температуре T через p и p, а при температуре T' через p' и p' имеем

p

-

p

=

p'

-

p'

.

(1)

Ещё одно уравнение получается из того условия, что при любом положении поршня полный объём цилиндра, занимаемый газами, имеет одно и то же значение, так как тепловым расширением стенок, конечно, можно пренебречь:

V

-

V

=

V'

-

V'

.

(2)

где V и V - объёмы верхней и нижней частей цилиндра при температуре T a V' и V', - при температуре T'.

Подчеркнём ещё раз, что уравнения (1) и (2) описывают те условия, которые не оговорены в задаче явно, но которые обязательно нужно учитывать при её решении.

К уравнениям (1) и (2) следует ещё добавить уравнения состояния газа по обе стороны поршня. Так как и в начальном, и в конечном состояниях количества газа в обеих частях сосуда одинаковы и газ имеет одинаковую температуру, то

pV

=

pV

,

p'V'

=

p'V'

.

(3)

По условию задачи отношение V/V=n Поэтому удобно ввести величину x, равную отношению объёмов в конечном состоянии (x=V'/V'). Теперь с помощью уравнений (3) получаем

p

p

=

n

,

p'

p'

=

x

.

(4)

Используя обозначения для величин n и x и соотношения (4), перепишем уравнения (1) и (2) в таком виде, чтобы они содержали только те величины, которые относятся к газу над поршнем:

p(n-1)

=

p'(x-1)

,

V

1

+

1

n

=

V'

1

+

1

x

.

(5)

Теперь нетрудно сообразить, что для дальнейшего решения целесообразно перемножить почленно уравнения (5):

pV

(n-1)

1

+

1

n

=

p'V'

(n-1)

1

+

1

x

.

(7)

Действительно, фигурирующие в уравнении (6) произведения давления газа на его объём выражаются с помощью уравнения состояния через его температуру:

pV

T

=

p'V'

T'

(7)

Поэтому уравнение (6) можно переписать в виде

T

T'

n^2-1

n

=

x^2-1

x

.

(9)

В левой части этого уравнения стоят величины, заданные в условии задачи, т.е. мы получили квадратное уравнение относительно искомой величины x. Даже не решая этого уравнения, можно увидеть, что оно правильно описывает очевидные предельные случаи. При x=1, что соответствует невесомому поршню, из (8) получается x=1, как и должно быть. При произвольном x1 и при T'-> величина x->1: при очень высокой температуре давления газов в обеих частях цилиндра настолько велики, что, несмотря на действующую на поршень силу тяжести, объёмы газов над и под поршнем практически одинаковы.

Можно убедиться, что физический смысл имеет только один из корней уравнения (8), так как второй получается отрицательным:

x

=

a

+

a^2+1

,

где

a

=

T

T'

n^2-1

2n

.

Кстати, с чем связано появление лишнего отрицательного корня?

5. Число молекул в атмосфере.

Оценить число молекул воздуха в земной атмосфере.

В условии задачи нет никаких данных. Следовательно, подразумевается, что число молекул воздуха в атмосфере нужно выразить через какие-то хорошо известные характеристики атмосферы. Что же нам известно о земной атмосфере? Прежде всего давление воздуха вблизи поверхности Земли на уровне моря, равное в среднем 760 мм рт. ст. Практически вся атмосфера состоит из молекул азота и кислорода, причём средняя молярная масса воздуха =0,029 кг/моль, поэтому если бы мы знали массу атмосферы, то легко могли бы определить число молекул в ней.

А как оценить массу атмосферы? «Снизу» атмосфера ограничена поверхностью Земли, средний радиус которой равен 6400 км. Что можно считать «верхней» границей атмосферы? Давление воздуха убывает с высотой и, например, на высоте Эльбруса (5,6 км) составляет лишь половину давления на уровне моря, т.е. концентрация молекул уже в два раза меньше. Отсюда, конечно, не следует делать вывод, что на вдвое большей высоте молекул воздуха нет вовсе. Как известно, современные самолёты, использующие подъёмную силу крыла, могут летать на высоте 30 км. Значит, там ещё достаточно воздуха. Но вот спутник, летающий на высоте немногим более 200 км, практически не испытывает сопротивления воздуха, т.е. вся масса атмосферы сосредоточена ниже.

Посмотрим, как меняется ускорение свободного падения g в зависимости от высоты в пределах атмосферы:

g(h)

=

GM_З

(R+h)

=

g

(1+h/R)^2

g

1

-

2h

R

,

g

g(0)

.

(1)

В этой формуле M_З - масса Земли, G - гравитационная постоянная.

Поскольку высота атмосферы, как мы выяснили, составляет несколько десятков километров, что много меньше радиуса R, то изменение g на протяжении атмосферы, как видно из (1), не превосходит 2%, и при оценках ускорение свободного падения можно считать постоянным. Поэтому давление воздуха p на уровне моря численно равно весу столба воздуха с единичным основанием: P=Mg, где M - масса воздуха в этом столбе.

Полную массу атмосферы M получим, умножив M на площадь поверхности Земли S=4R^2:

M

=

P

g

=

4R^2

.