Физика в примерах и задачах

откуда C_p=R/(-1). В результате вместо (11) можно написать

v

_вак

=

2

-1

RT

.

(12)

Полученные формулы для скорости истечения позволяют сделать сравнительную оценку различных видов топлива для ракетных двигателей. Для получения больших скоростей истечения газов из сопла двигателя предпочтительнее горючее, которое обладает высокой теплотой сгорания (для получения больших температур T в камере сгорания) и образует продукты сгорания с малой молярной массой.

14. Заполнение откачанного сосуда.

Теплоизолированный сосуд с внутренним объёмом V откачан до глубокого вакуума. Окружающий воздух имеет температуру T и давление p. В некоторый момент открывается кран и происходит быстрое заполнение сосуда атмосферным воздухом. Какую температуру T будет иметь воздух в сосуде после его заполнения?

Почему вообще при заполнении сосуда атмосферным воздухом должна измениться его температура? Чтобы разобраться в этом, нужно рассмотреть энергетические превращения, происходящие при заполнении сосуда. При открывании крана какая-то порция воздуха «заталкивается» в сосуд атмосферным давлением. Это значит, что над вошедшим в сосуд воздухом силами атмосферного давления совершается некоторая работа. Благодаря этой работе врывающийся в сосуд воздух приобретает кинетическую энергию направленного макроскопического движения - воздух в сосуд входит струёй. При встрече со стенками сосуда и с уже попавшим в сосуд воздухом струя меняет направление, ослабевает и в конце концов исчезает совсем. При этом кинетическая энергия упорядоченного движения воздуха в струе превращается во внутреннюю энергию, т.е. в энергию хаотического теплового движения его молекул.

Всё это происходит настолько быстро, что теплообменом входящего в сосуд воздуха с воздухом в атмосфере можно пренебречь. Поэтому применительно к рассматриваемому процессу первый закон термодинамики имеет вид: работа A сил атмосферного давления над вошедшим в сосуд воздухом равна изменению внутренней энергии этого воздуха U:

A

=

U

.

(1)

Рис. 14.1. При заполнении воздухом откачанного сосуда силы атмосферного давления совершают работу, равную pV

Как же подсчитать эту работу? Проще всего для этого поступить следующим образом. Представим себе, что наш откачанный сосуд находится внутри большого цилиндра с подвижным поршнем (рис. 14.1). Давление и температура воздуха внутри большого цилиндра такие же, как и в атмосфере. Так как при заполнении откачанного сосуда воздухом давление и температура воздуха в окружающей сосуд атмосфере остаются неизменными, то процессу заполнения сосуда на рис. 14.1 соответствует перемещение поршня вправо при постоянном давлении p При этом действующая слева на поршень сила совершает работу pV, где V - уменьшение объёма внутри цилиндра. Поскольку энергия не вошедшего в сосуд воздуха внутри цилиндра остаётся неизменной, то эта совершенная при перемещении поршня работа равна работе, совершаемой силами атмосферного давления при «заталкивании» воздуха в сосуд.

Обратите внимание на то, что приведённое здесь вычисление работы при перемещении воздуха отличается от вычисления, рассмотренного в предыдущей задаче. Объясняется это различие тем, что в предыдущей задаче нас интересовала работа, совершаемая над отдельной порцией движущегося газа, в то время как здесь мы находим суммарную работу внешних сил над всем вошедшим в сосуд воздухом.

Изменение внутренней энергии U того воздуха, который попал в сосуд, выражается только через изменение его температуры, если считать воздух идеальным газом:

U

=

C

_V

(T-T)

,

(2)

где C_V - молярная теплоёмкость воздуха. Количество вошедшего в сосуд воздуха можно выразить с помощью уравнения состояния. Так как в откачанный сосуд вошло ровно столько воздуха, сколько вытеснил из цилиндра переместившийся поршень (рис. 14.1), то можно написать

pV

=

RT

.

(3)

Теперь выражение (2) для изменения внутренней энергии U переписывается в виде

U

=

pV

RT

C

_V

(T-T)

.

(4)

Приравнивая, в соответствии с первым законом термодинамики (1), изменение внутренней энергии (4) совершенной работе A=pV, находим

C

_V

(T-T)

=

RT

,

откуда для конечной температуры воздуха в сосуде T получаем

T

=

T

(1+R/C

_V

)

.

(5)

Так как сумма C_V+R равна молярной теплоёмкости при постоянном давлении C_p то выражение (5) можно переписать в виде

T

=

TC_V

C_p

=

T

.

(6)

Температура заполнившего откачанный сосуд воздуха оказывается выше температуры воздуха в атмосфере. Отметим, что результат не зависит ни от объёма сосуда, ни от давления воздуха в атмосфере. Температура воздуха в сосуде не зависит также и от того, будет ли заполнение сосуда происходить до конца, пока давление воздуха в нем не сравняется с атмосферным, или же кран будет перекрыт раньше. Действительно, все приведённые в решении рассуждения справедливы и в том случае, когда конечное давление воздуха в сосуде меньше атмосферного.