Физика в примерах и задачах

Выясним теперь, что будет происходить в отростке при закрывании крана. Как мы видели, в этом случае происходит гидравлический удар и давление воды в магистральной трубе резко повышается. Если считать, что кран перекрывает трубу мгновенно (точнее, время перекрывания меньше 2l/v, где l - длина магистральной трубы, а u - скорость звука в воде), то давление подскакивает на величину uv. Это позволяет оценить, на какую высоту h может подняться уровень воды в тонкой трубке:

uv

=

gh

,

(3)

откуда h=uv/g Подчеркнём, что приведённая оценка справедлива только в том случае, когда поперечное сечение отростка много меньше сечения магистральной трубы. При этом расход воды через отросток во время гидравлического удара будет пренебрежимо мал, и поэтому такое устройство не сможет служить водяной колонной, смягчающей гидравлический удар.

Рис. 7.2. При закрывании крана вода поднимается в верхний бак

Дополнительное повышение уровня воды на величину h может оказаться весьма значительным, намного превосходящим уровень воды в резервуаре h. Поэтому подобное устройство можно использовать для подачи воды на большую высоту (рис. 7.2). Такой «гидравлический таран» будет работать отдельными импульсами, поднимая каждый раз в верхний бак некоторую порцию воды. Увеличение потенциальной энергии поднимаемой воды происходит здесь за счёт кинетической энергии воды в магистральной трубе, которая останавливается при перекрывании крана. Очевидно, что производительность гидравлического тарана тем меньше, чем больше высота, на которую он поднимает воду.

8. Установившееся падение в жидкости.

Два шара одинакового размера, но разной массы m и m связаны нитью, длина которой много больше их радиусов.. При помещении в жидкость система этих шаров тонет. Какова будет сила натяжения соединяющей шары нити при их установившемся падении в жидкости?

В условии задачи приведено слишком мало данных для того, чтобы полностью описать движение шаров в жидкости. Например, для нахождения скорости установившегося падения даже одного шара, нужно было бы, кроме массы шара, знать его размер, плотность жидкости и зависимость силы сопротивления от скорости. Тогда, приравняв нулю векторную сумму силы тяжести, полной силы давления жидкости и силы её сопротивления, можно было бы определить скорость установившегося падения. А так единственное, что можно сказать, это то, что скорость установившегося падения тяжёлого шара будет больше чем лёгкого. Тем более мы не можем здесь определить скорость падения связанных шаров, так как в условии заданы только их массы.

Но вот определить силу натяжения связывающей шары нити оказывается возможным. Казалось бы, и здесь не обойтись без знания силы сопротивления, но всё дело в том, что при совместном движении этих связанных шаров с одинаковой скоростью действующие на них силы сопротивления одинаковы. Для того чтобы такое установление скорости падения действительно произошло, нужно лишь, чтобы сила сопротивления росла с увеличением скорости, причём безразлично, по какому именно закону - линейно, квадратично и т.п.

Рис. 8.1. Силы, действующие на связанные шары при их установившемся движении в жидкости

Совершенно ясно, что при любых начальных условиях соединяющая шары нить после установления движения расположится вертикально, так что более тяжёлый шар окажется внизу. Поэтому действующие на шары силы натяжения нити T, как и силы тяжести mg и mg, выталкивающие силы F_A и силы сопротивления F_c, направлены по вертикали (рис. 8.1). Условие равномерного движения нижнего шара имеет вид

mg

-

T

-

F

_A

-

F

_c

=

0.

(1)

Аналогично для верхнего шара

mg

+

T

-

F

_A

-

F

_c

=

0.

(2)

Вычитая уравнение (2) из уравнения (1), получаем

T

=

(m-m)g

2

.

(3)

Легко сообразить, что сила натяжения нити будет такой же и при установившемся процессе всплывания, если связанные шары легче воды.

9. Торможение в вязкой жидкости.

Двигатель корабля был остановлен в тот момент, когда скорость корабля была равна v. Какой путь и за какое время пройдёт корабль до полной остановки, если эффективная масса корабля (включающая присоединённую массу - см. задачу 2 раздела «Динамика и законы сохранения») равна m, а сила сопротивления пропорциональна скорости: F=-kv?

Сила сопротивления при движении твёрдого тела в жидкости пропорциональна скорости тела в том случае, когда сопротивление движению обусловлено главным образом вязкостью жидкости. Это имеет место при сравнительно небольших скоростях тела относительно жидкости. Коэффициент пропорциональности k между силой сопротивления и скоростью в этом случае зависит от формы тела и пропорционален вязкости жидкости и линейным размерам тела в направлении движения. В данной задаче коэффициент k имеет заданное значение.

Мы рассматриваем движение корабля только под действием силы сопротивления. В соответствии со вторым законом Ньютона имеем

ma

=-

kv

.

(1)