Физика в примерах и задачах

При решении этой задачи будем считать воду идеальной жидкостью, т.е. будем пренебрегать её вязкостью. В этом случае полная механическая энергия жидкости сохраняется, и для описания её движения можно использовать уравнение Бернулли, которое и выражает закон сохранения энергии для движущейся идеальной жидкости. При стационарном течении это уравнение имеет вид

p

+

gh

+

v^2

2

=

const,

(1)

где p - давление, которое показывает неподвижный относительно жидкости манометр, - плотность жидкости, v - скорость жидкости в данной точке и h - высота этой точки над некоторым уровнем. Уравнение (1) говорит о том, что сумма трёх слагаемых в левой части имеет одно и то же значение независимо от того, в какой точке она вычисляется. Для удобства мы в дальнейшем не будем явно выписывать одинаковое во всех точках атмосферное давление p, понимая под p в (1) превышение давления в жидкости над атмосферным.

Предположим, что кран открыт и установилось стационарное течение жидкости. Изменением уровня воды в резервуаре будем пренебрегать, считая его объём достаточно большим. Тогда уравнение Бернулли (1) позволяет ответить на все относящиеся к этому случаю вопросы. Скорость струи v бьющей из фонтанчика, определяется только высотой уровня воды h в резервуаре над отверстием трубки:

v

=

2gh

.

(2)

Это известная формула Торричелли, которая может быть получена как непосредственно из закона сохранения энергии, так и из уравнения Бернулли, если приравнять левые части (1), записанные для точки A на уровне воды в резервуаре, где скорость практически равна нулю, и для точки B, находящейся в отверстии трубки:

gh

=

v^2

2

.

Вылетающие из отверстия со скоростью v=2gh частицы воды могут подняться до уровня воды в резервуаре, если в отверстии трубки их скорость направлена вертикально вверх.

Скорость движения воды v в магистральной трубе легко найти, учитывая несжимаемость жидкости и используя уравнение неразрывности:

Sv

=

Sv

,

(3)

откуда с учётом (2) имеем

v

=

Sv

S

=

2gh

S

S

.

(4)

Если S, то скорость воды в магистральной трубе много меньше скорости струи, бьющей из отверстия. Отметим, что скорость v одинакова в любом месте магистральной трубы, как непосредственно перед краном, так и в начале трубы сразу после резервуара. А вот давление p воды в магистральной трубе будет разным на разной высоте. Так как скорость воды в трубе уже известна, то найти давление можно с помощью уравнения Бернулли.

Возьмём произвольную точку C в трубе, находящуюся на высоте H. Тогда, приравнивая левые части (1) для точек C и A, получим

p

+

gH

+

v^2

2

=

gh

.

(5)

Отсюда для давления воды p на высоте H имеем

p

=

g

(h-H)

-

v^2

2

.

(6)

Из формулы (6) видно, что давление воды в трубе меньше гидростатического, т.е. того, которое было бы при закрытом кране, на величину v^2/2. Чем больше скорость воды в магистральной трубе, тем меньше в ней давление. Это отличие давления воды от гидростатического проявляется уже в самом начале трубы, там, где она выходит из резервуара: скорость воды в этом месте скачком возрастает от нуля, а давление также скачком падает.

Давление воды в магистральной трубе перед краном, там, где H=0,

p

=

gh

(1-S^2/S^2)

.

(7)

Это выражение получается из формулы (6) при подстановке в неё значения скорости v из (4). Из формулы (7) видно, что отличие давления p от гидростатического определяется соотношением между площадями сечений магистральной трубы S и отверстия в трубке S. Чем меньше расход воды, тем ближе значение давления к гидростатическому.

Теперь рассмотрим, что происходит в трубе при перекрывании крана. Вначале предположим, что отверстие в кране перекрывается мгновенно. В этом случае происходит так называемый гидравлический удар, при котором давление резко возрастает.

Движущаяся по трубе жидкость обладает импульсом. При мгновенном перекрывании крана вода в трубе вынуждена затормозиться. Абсолютно несжимаемая жидкость остановилась бы при этом вся сразу. А это, в свою очередь, привело бы к бесконечно большой силе давления на преграду. Поэтому представление об абсолютно несжимаемой жидкости в таких условиях неприменимо.

Выясним, как происходит торможение жидкости при учёте её сжимаемости. Теперь при внезапном появлении преграды жидкость останавливается постепенно, так что за некоторое время t остановится только та её часть, до которой успеет дойти волна сжатия, распространяющаяся в жидкости от закрытого крана навстречу потоку. Если деформациями стенок трубы при повышении давления можно пренебречь, то волна сжатия распространяется со скоростью, равной скорости звука u в воде.

Силу F, действующую на заслонку мгновенно перекрытого крана, можно рассчитать с помощью закона сохранения импульса. Так как до перекрывания крана вода имела скорость v, то импульс остановившейся за время t воды был равен Sutv. Поэтому

F

t

=

Su

tu

,

(8)

откуда для возникающего при гидравлическом ударе дополнительного давления p_уд=F/S получаем

p

_уд

=

uv

.