Флатландия. Сферландия

Мы различаем формы и положения предметов главным образом с помощью зрения. Органы зрения существа, вынужденного жить в пространстве некоторой вполне определенной размерности, по-видимому, приспособлены к размерности его пространства. Так, картина, образующаяся на сетчатой оболочке нашего глаза двумерна, поскольку сетчатая оболочка нашего глаза представляет собой двумерную поверхность. У двумерного существа, лишенного способности воспринимать что-либо вне его плоскости, сетчатая оболочка была бы одномерной или по крайней мере образ предмета из его мира представлялся бы ему в виде линии, причем различные предметы отличались бы по длине, цвету и степени освещенности этих линий. Сетчатая оболочка четырехмерного существа должна была бы быть трехмерной, если предположить, что четырехмерное существо должно различать все лучи света, расположенные внутри данного угла зрения. Действительно, четырехмерное существо может видеть лишь наружную поверхность четырехмерного предмета, а поверхность четырехмерного предмета трехмерна.

Представить себе наглядно, как выглядит четырехмерное тело с его трехмерной границей, нам, разумеется, трудно, поэтому мы можем попытаться получить косвенное представление о форме четырехмерного тела, предположив, что некоторое трехмерное существо — личность, аналогичная нам, обладает способностью проходить сквозь ряд параллельных 3-пространств (трехмерных пространств) и в каждом 3-пространстве рассматривать ту часть четырехмерного тела, которая в нем лежит, то есть сечение четырехмерного тела этим 3-пространством. Аналогичным образом мы могли бы предположить, что некое двумерное существо способно проходить сквозь ряд параллельных плоскостей и в каждой такой плоскости рассматривать сечение интересующего его трехмерного тела. Сечение четырехмерного тела, которое мы могли бы увидеть, имело бы вид трехмерного тела, а его поверхность составляла бы лишь часть трехмерной поверхности четырехмерного тела.

Существует другой, хотя и тесно связанный с только что изложенным способ изучения четырехмерных тел, которым мы также можем воспользоваться. Представим себе, что мы можем переходить из одного 3-пространства в другое, перпендикулярное 3-пространство. Переход этот осуществляется следующим образом. Отбросив одно из трех взаимно перпендикулярных направлений в нашем пространстве, мы присоединим к двум оставшимся четвертое направление, перпендикулярное нашему трехмерному пространству, и получим новое 3-пространство. Сечение четырехмерного тела любым из 3-пространств мы опишем по тому, что мы увидим своими глазами, оказавшись в этом 3-пространстве. Именно это мы и сделаем применительно к различным сечениям четырехмерного тела, получающимся при рассмотрении различных взаимно перпендикулярных 3-пространств во всех точках нашего трехмерного пространства.

Рассмотрим несколько примеров. Первое, с чем нам придется столкнуться при изучении четырехмерной геометрии, — это прямая, перпендикулярная 3-пространству. Так называется прямая, выходящая из произвольной точки нашего пространства в некотором новом, четвертом, направлении, перпендикулярном всем прямым исходного пространства, проходящим через данную точку[9]. Если мы станем двигаться вдоль одного из измерений нашего пространства, наблюдая при этом лишь за той его частью, которая лежит в некоторой плоскости, и новым, четвертым, измерением, то мы увидим плоскость и выходящую из нее прямую, перпендикулярную всем прямым, лежащим в данной плоскости, то есть хорошо знакомую нам картину.

В качестве другого примера рассмотрим две абсолютно перпендикулярные плоскости. Если мы выберем плоскость, проходящую через любую точку O, и прямую, перпендикулярную выбранной плоскости и проходящую через точку O, причем и прямая, и плоскость лежат в нашем исходном пространстве, а затем рассмотрим прямую, проходящую через точку в четвертом направлении, перпендикулярном всем прямым нашего пространства, проходящим через точку O, то получим плоскость, проходящую через точку O, и две прямые, каждая из которых перпендикулярна этой плоскости и другой прямой. Эти две прямые в свою очередь определяют плоскость, в которой каждая прямая, проходящая через точку O, перпендикулярна первой плоскости. Эти две плоскости называются абсолютно перпендикулярными. Рассматривая абсолютно перпендикулярные плоскости из любого 3-пространства, мы могли бы лишь увидеть одну из плоскостей и какую-то одну из прямых, лежащих в другой плоскости, а именно прямую, проходящую через точку O перпендикулярно видимой нами плоскости. Другая плоскость пересекает наше пространство вдоль этой прямой. Обе абсолютно перпендикулярные плоскости пересекаются лишь в точке O. Действительно, две плоскости, не лежащие полностью в одном 3-пространстве, не могут иметь более одной общей точки, а когда две плоскости имеют ровно одну общую точку, то самое большее, что мы могли бы увидеть из любого 3-пространства, это одну из плоскостей и одну из прямых, лежащих в другой плоскости.