Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Это неприятная ситуация. Степень компактности квадрата не должна зависеть от его размера! Точно так же она не должна зависеть от того, измеряем мы его размер в милях, километрах или фарлонгах! Какую бы меру компактности мы ни использовали, она должна быть тем, что геометры называют инвариантом[621], то есть не должна меняться при перемещении, повороте, расширении или стягивании. Когда мы передвигаем или вращаем область, ее периметр и площадь не меняются, так что проблемы нет. Но когда мы увеличиваем ее с коэффициентом 10, периметр увеличивается в 10 раз, а площадь – в 100 раз. Это подсказывает, что лучше использовать другое отношение:

площадь / периметр²,

которое не меняется при увеличении или уменьшении площади территории. Кстати, удобный способ отслеживать такие вещи – добавлять единицы измерения. Периметр вашего 40-километрового квадрата – 160 километров, а его площадь – 1600 квадратных километров, поэтому площадь, деленная на периметр, – это не просто 10, а 10 километров, то есть не число, а длина.

Вышеуказанное отношение называют оценкой Полсби – Поппера – по имени двух юристов, которые осознали ее удобство в 1990-е, однако само понятие старше. Для круга радиуса r периметр равен 2πr, а площадь πr², так что этот показатель равен:

(πr²) / (2πr)² = πr² / 4π²r² = 0,079…

Обратите внимание, что ответ вообще не зависит от радиуса круга! Радиус r пропал. Вот так работает инвариантность. То же самое справедливо для квадрата: если длина его стороны d, то периметр 4d, площадь d², поэтому оценка Полсби – Поттера равна:

d² / (4d)² = d² / 16d² = 1 / 16 = 0,0625

и не зависит от длины стороны квадрата. Показатель для квадрата получился несколько меньше, чем 1/4π. На самом деле 1/4π – это наилучший показатель для любых возможных форм! Это вполне согласуется с нашим интуитивным представлением о том, насколько большой может быть площадь фигуры, если зафиксировать ее периметр. Положите на стол веревочку в виде петли и попробуйте расположить ее так, чтобы внутри оказалось как можно больше материала. Вам не кажется, что она примет круглую форму? Этот факт был известен и доказан не вполне нестрогим образом (как поступало большинство древних математиков) Зенодором, жившим примерно через век после Евклида. Математики называют это изопериметрическим равенством. Его строгое доказательство в соответствии с современными требованиями появилось только в XIX веке[622].

Таким образом, вы можете рассматривать оценку Полсби – Поппера как показатель того, насколько кругообразен избирательный участок. И в этот момент уже можете засомневаться в том, что это действительно хорошая идея. Неужели кругообразный район лучше квадратного? А чем не угодил прямоугольник вроде этого:

оценка для которого равна 4 / 100 = 0,04?

Раз уж на то пошло, а что мы вообще подразумеваем под периметром? Границы реальных территорий – это частично прямые линии, проведенные геодезистами, а частично искривленные линии вроде побережий, которые фрактальны по природе и искривлены в любом масштабе. Поэтому их длина увеличивается, когда вы измеряете все их более мелкие изгибы и выступы. Однако качество избирательного округа не должно зависеть от размера вашей рулетки!

Попробуем иной подход. Во многих случаях наиболее удобные геометрические фигуры – выпуклые. Если в общих чертах, то выпуклая фигура – та, что выгибается только наружу:

но не вовнутрь:

Однако есть и приятное официальное определение: фигура называется выпуклой, когда любой отрезок, соединяющий две ее точки, полностью лежит внутри фигуры. (Это определение имеет смысл в двух измерениях или в трех и даже в большем числе измерений, намного превышающих вашу способность визуализировать выгибание наружу или внутрь.) Вы можете увидеть, как вторая фигура не проходит тест с помощью отрезка:

Выпуклой оболочкой фигуры называется объединение всех отрезков, соединяющих все пары ее точек:

Вы можете представлять ее как «заполнение всех невыпуклых мест» или, с более физической точки зрения, как результат максимально плотного обтягивания фигуры тонкой пластиковой пленкой. Выпуклая оболочка мяча для гольфа – это сфера; все углубления на его поверхности (которые делают по соображениям аэродинамики) будут заполнены[623]. Выпуклая оболочка вашего собственного тела будет плотно прилегать, если вы сожмете ноги, а руки прижмете к бокам; однако если вы расставите их в стороны, то выпуклая оболочка станет гораздо больше.

Давайте определим оценку «Населенный многоугольник» для какого-нибудь избирательного округа: это отношение между количеством проживающих в нем людей и числом людей, проживающих в его выпуклой оболочке. Выпуклая оболочка района из фигур Гуфи и Дональда Дака включает всех людей, которые живут между ними, поэтому наша оценка для этого округа будет плохой.