Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Смысл метода ансамбля не в том, чтобы полностью устранить партийный джерримендеринг, равно как и суть дела Рейнольдс против Симса не в том, чтобы избирательные округа равнялись по численности с точностью до одного человека. Каждое решение составителя карты – от защиты действующего политика до помощи в конкурентных выборах – может иметь влияние. Цель не в том, чтобы обеспечить невозможный абсолютный нейтралитет, а в том, чтобы заблокировать вопиющие нарушения.

Вспомните речь Тэда Оттмана перед законодателями-республиканцами о том, что партия обязана воспользоваться возможностью укрепить контроль. Если ваша задача – добиться большинства в законодательном органе и удержать его, а закон позволяет вам играть так грязно, как вам нравится, то грязь – это ваш долг. Ослабление мощи джерримендеринга, определение уровня нечестности, с которым демократия не будет мириться, оказало бы оздоровляющее влияние на весь процесс. Политики охотнее шли бы на разумные компромиссы, если бы вознаграждение за джерримендеринг не было так велико. Если вы не хотите, чтобы дети воровали в магазинах, возможно, не стоит оставлять столько шоколадок так близко к дверям.

ТРИУМФАЛЬНОЕ ВОЗВРАЩЕНИЕ ГРАФОВ, ДЕРЕВЬЕВ И ОТВЕРСТИЙ

Я мог бы обойти вниманием ту часть рекомбинации, где вы делите удвоенный округ на два, но не стану, поскольку это позволит мне вернуть двух персонажей из предыдущей части книги. Прежде всего, участки для голосования в избирательном округе, подобно кинозвездам или атомам в углеводородах, образуют сеть, или граф, если пользоваться термином Джеймса Джозефа Сильвестра. Территории – это вершины графа, и если они граничат друг с другом, то соответствующие вершины соединены ребром. Если участки выглядят так:

то граф так:

Нам требуется найти способ разделить эти участки на две группы, причем нужно гарантировать, что каждая из этих групп образует связную сеть.

Если определить в одну группу A, B, и C, а в другую D, E и F, то все хорошо:

Однако, если взять C, D и F, то останутся A, B и E, которые не образуют связный округ.

Здесь мы оказались на краю целого кипящего кратера в теории графов. Джон Уршел, нападающий клуба «Балтимор Рэйвенс»[656], в 2017 году ушел из спорта и занялся этой темой, поскольку она всегда была ему интересна. Одна из его первых работ[657] после ухода из футбола посвящалась разбиению графов на две связные компоненты с помощью теории собственных значений, о которых мы говорили в главе 12.

Существует масса способов разбить граф на части. Когда он маленький, как представленный выше, можно просто перечислить все возможные разбиения и выбрать одно из списка наугад. Но если граф будет больше, то составлять списки всевозможных разбиений труднее. Есть трюк для случайного выбора, и в нем поучаствуют наши старые знакомые. Предположим, Акбар и Джефф играют в такую игру: по очереди убирают по одному ребру из графа, и проигрывает тот, кто разбивает граф на отдельные компоненты. Например, в графе выше Акбар может убрать ребро AF, Джефф – ребро DF, затем Акбар мог бы удалить ребро EF (но не AB, потому что тогда вершина A отделится от графа, и он проиграет!). После этого Джефф может удалить BF, и теперь Акбар в тупике: какое бы ребро он ни стер, граф разделится на две не связанные между собой части.

Мог ли Акбар сыграть умнее и победить? Нет, потому что у этой игры есть секретное свойство: если оба игрока будут стремиться не делить граф на части, то совершенно неважно, какие ходы вы делаете: игра всегда закончится после четырех ходов, и Акбар всегда проиграет. На самом деле неважно, насколько велика сеть: количество ходов в игре фиксировано. Для этой величины даже есть изящная формула:

число ребер – число вершин + 1.

В начале игры у нас 6 вершин и 9 ребер, так что 9–6 + 1 = 4. В конце игры остается только 5 ребер, и это число уменьшается до 0. То, что осталось от нашей сети, имеет весьма специальную форму: в получившемся графе нет ни одного цикла, хотя в исходном графе вы могли пройти по циклу от A к B, к F и обратно к A. Если бы в графе был какой-нибудь цикл, то вы могли бы удалить одно из его ребер, но граф не распался бы на части. Поэтому в оставшемся в результате нашей игры графе нет никаких циклов, а граф без циклов – это дерево.