Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Представить себе соломинку и штаны легко, и нам не нужен формальный математический аппарат, чтобы их различать. Формы в пространствах более высоких измерений – дело другое. Наш внутренний глаз бессилен их увидеть. А мы хотим не только их рассмотреть, но и внимательно изучить. Как мы увидим, в геометрии машинного обучения мы будем искать пространство с сотнями или тысячами измерений, пытаясь найти самый высокий пик в этом невизуализируемом ландшафте. Уже в XIX веке Пуанкаре, изучая задачу трех тел, должен был отслеживать местоположение и движение материальных объектов в небе; а это означало запись для каждого небесного тела трех координат для положения и трех – для скорости[92], то есть всего шесть измерений. Поскольку у него было три движущихся тела одновременно и для каждого требовалось шесть измерений, то всего получалось восемнадцать измерений. Никакой рисунок на странице не поможет вам понять, сколько отверстий в восемнадцатимерной соломинке, не говоря уже о том, чтобы отличить ее от восемнадцатимерных штанов. Необходим новый формальный язык, который с неизбежностью будет отделен от наших внутренних представлений о том, что считать отверстием. Так всегда работает геометрия: мы начинаем с интуитивных представлений о формах физического мира (а с чего еще мы могли бы начать?), внимательно анализируем наше восприятие того, как эти формы выглядят и двигаются, – с достаточной точностью, чтобы мы могли говорить о них, не опираясь на интуицию. Потому что при выходе из мелководья трехмерного пространства, к которому привыкли, такая надобность у нас появится.

И мы уже можем видеть начало такого процесса. Остался один тревожный пример из нашего обсуждения, к которому мы готовы вернуться только сейчас. Помните воздушный шарик? В нем нет дырки. Вы протыкаете в нем дырку, раздается хлопок, и теперь перед вами резиновый диск. Очевидно, что дыры в нем нет. Но разве мы ее не сделали только что?

Вот один из способов разобраться в таком явном парадоксе. Если вы проделали в шарике отверстие и в результате в нем отверстий не оказалось, значит, изначально в нем должно быть – 1 отверстие.

Мы стоим на развилке – в точке принятия решения. Можно отбросить либо весьма привлекательную идею, что добавление дырки в предмете увеличивает количество дырок на единицу, либо весьма привлекательную идею, что отрицательное число отверстий – полная чушь. История математики богата на подобные болезненные решения. Обе идеи интуитивно понятны, но при тщательном рассмотрении мы обнаруживаем, что они логически несовместимы. От одной надо отказаться[93].

Не существует абстрактной истины, сколько дыр в воздушном шаре, соломинке или штанах. Когда мы подходим к развилке, которую преподносит нам математика, нам нужно выбрать какое-то определение. Не следует считать, что один путь ложный, а другой истинный; нужно думать, что один путь лучше, а другой хуже. Лучше тот, который объяснит и прольет свет на большее количество случаев. За многие столетия математики обнаружили, что обычно лучше принять то, что кажется странным (как отрицательное число дырок), чем то, что нарушает какой-то общий принцип (например, что проделывание дырки в объекте должно увеличивать число дырок в нем на единицу). Так что я водружаю свой флаг тут: предпочтительнее сказать, что нелопнувший шарик имеет – 1 отверстие. На деле существует способ характеризации пространств под названием эйлерова характеристика; она представляет собой топологический инвариант, то есть не меняется при различных непрерывных деформациях. Вы можете считать, что этот параметр равен единице минус число отверстий.

Штаны: эйлерова характеристика – 1, два отверстия.

Соломинка: эйлерова характеристика 0, одно отверстие.

Лопнувший воздушный шарик: эйлерова характеристика 1, ноль отверстий.

Нелопнувший воздушный шарик: эйлерова характеристика 2, –1 отверстие.

Способ описать эйлерову характеристику, чтобы она казалась менее странной, – это разность между двумя величинами: числом отверстий четной и нечетной размерности. В целом воздушном шарике, то есть в сфере, дыра есть – в том же смысле, что и дыра внутри куска швейцарского сыра: внутренняя часть шарика – дыра сама по себе. Однако ощущается, что это дыра иного рода, нежели в соломинке. Верно! Это то, что мы назвали бы двумерной дырой. Шарик имеет одну двумерную дыру и ни одной одномерной. Может показаться, что тогда эйлерова характеристика должна быть 1–1 = 0, что не соответствует нашей таблице. Мы упустили, что шарик имеет еще и нульмерное отверстие.

Что это может значить?