Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Сколько направлений вы можете проложить на карте? В каком-то смысле вы можете двигаться в бесконечном множестве направлений: на север, юг, восток, запад; на юго-запад или северо-северо-восток; держать курс точно на 43,28 градуса к востоку от южного направления. Однако суть в том, что при всем богатстве выбора есть только два основных направления, в которых вы можете путешествовать: вы доберетесь куда угодно, комбинируя всего два направления – на север и на восток (если будете считать 10-мильное путешествие на запад отрицательным 10-мильным путешествием на восток).

Однако нет смысла спрашивать, какие два направления будут основными, из которых следуют все остальные. Любая пара ничем не хуже другой; можно выбрать север и восток, юг и запад, северо-запад и северо-северо-восток. Единственное, что вы не можете сделать, так это выбрать два совпадающих или противоположных направления, поскольку тогда вам придется ограничиться движением по одной линии.

Верх и низ соломинки – полные противоположности, север и юг. Здесь можно обнаружить только одно измерение. Талия и штанины, напротив, заполняют два измерения, например:

Проехав в одном из этих направлений, затем во втором, затем в третьем, вы вернетесь в исходную точку.

Три направления аннулируют друг друга, давая в сочетании ноль.

«Сегодня это считается самоочевидным[87], – писали Павел Александров и Хайнц Хопф в своем фундаментальном труде по топологии 1935 года, – однако восемь лет назад это было не так. Потребовалась энергия и индивидуальность Эмми Нётер, чтобы сделать это знание обычным для топологов. Благодаря ей оно стало играть современную роль в задачах и методах топологии».

«СЕГОДНЯ НИКТО НЕ СОМНЕВАЕТСЯ, ЧТО ГЕОМЕТРИЯ N ИЗМЕРЕНИЙ – РЕАЛЬНАЯ ВЕЩЬ»

Пуанкаре создал современную топологию, однако он ее так не называл, а использовал более громоздкий термин analysis situs («анализ места»). Хорошо, что он не прижился! На самом деле слово «топология» на шестьдесят лет старше, а придумал его Иоганн Бенедикт Листинг – ученый-универсал, который также изобрел слово «микрон» для обозначения миллионной доли метра, внес важный вклад в физиологию зрения, занимался геологией и изучал содержание сахара в моче больных диабетом. Он ездил по миру, измеряя магнитное поле планеты с помощью магнитометра, изобретенного его учителем Карлом Фридрихом Гауссом. Он был компанейским и доброжелательным человеком (возможно, даже слишком компанейским), пытаясь избавиться от своего долга. Физик Эрнст Брайтенбергер назвал его «одним из многих второстепенных универсалов, которые придавали колорит истории науки XIX столетия»[88].

Летом 1834 года Листинг сопровождал своего состоятельного друга Вольфганга Сарториуса фон Вальтерсхаузена в поездке к вулкану Этна на Сицилии, а в свободное время, когда вулкан спал, размышлял о формах и их свойствах и придумал термин «топология». У него не было такого систематического подхода, как у Пуанкаре или Нётер: в топологии, как и в других областях науки, и в жизни, он был чем-то вроде сороки, летящей туда, куда ее влекли интересы. Он оставил множество изображений узлов и нарисовал ленту Мёбиуса до Августа Фердинанда Мёбиуса[89] (хотя нет никаких подтверждений, что Листинг, как Мёбиус, понял ее любопытное свойство – наличие только одной стороны). В конце жизни он создал масштабный труд «Перепись пространственных форм», собрав в нем все формы, какие смог придумать. Он был своего рода геометрическим Одюбоном, каталогизирующим богатство разнообразия природы[90].

Есть ли причины выходить за рамки списка Листинга? Споры о количестве отверстий в соломинке занятны, но что делает их важнее, чем, скажем, обсуждение числа ангелов, которые могут поместиться на булавочной головке?

Ответ вы можете найти в самом первом предложении статьи Analysis Situs, которая начинается так:

Сегодня никто не сомневается[91], что геометрия n измерений – реальная вещь.