Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Конечно, мы могли бы строже Евклида отнестись к тому, что считать симметрией: например, запретить отражения и вращения, оставив только перенос на плоскости без поворотов. Тогда эти два нарисованных выше треугольника уже не были бы равны, поскольку указывают в разных направлениях.

А если оставить вращения, но отказаться от отражений? Вы можете представить это как класс допустимых преобразований, но только в пределах плоскости: вы можете передвигать и поворачивать объекты, но запрещается их поднимать и переворачивать, поскольку это означает запрещенный выход в трехмерное пространство. Согласно таким правилам, мы по-прежнему не можем назвать эти два треугольника одним именем. В левом треугольнике порядок сторон от самой короткой к самой длинной идет против часовой стрелки. Как бы вы ни двигали и не поворачивали эту фигуру, это свойство сохранится, а значит, левый треугольник никогда не совпадет с правым, в котором короткая, средняя, длинная стороны идут по часовой стрелке. Отражение меняет направление по часовой и против часовой стрелки, а переносы и повороты – нет. Без отражения направление обхода короткая, средняя, длинная сторона – это свойство треугольника, которое никакая симметрия не изменит. Это то, что мы называем инвариантом.

У каждого класса симметрий есть собственные инварианты. Движение не может изменить площадь треугольника или любой иной фигуры; в терминах физики мы могли бы сказать, что это закон сохранения площади для движения. Есть и закон сохранения длины, поскольку движение не может изменить длину отрезков[96].

Повороты плоскости понять легко, однако переход к трехмерному пространству значительно усложняет дело. Еще в XVIII веке (опять Леонард Эйлер!) ученые выяснили, что любое вращение трехмерного пространства можно представлять как вращение вокруг какой-то неподвижной прямой – оси. Пока все хорошо, но остается куча вопросов. Предположим, я совершаю поворот на 20 градусов вокруг вертикальной оси, а потом на 30 градусов вокруг оси, указывающей горизонтально на север. Результирующее вращение должно оказаться поворотом на некоторое количество градусов вокруг какой-то прямой, но какой? Получится примерно 36 градусов вокруг оси, направленной вверх и куда-то на северо-северо-запад. Но увидеть это непросто! Человеком, разработавшим гораздо более удобный способ думать об этих вращениях – представлять их в виде своеобразного числа, называемого кватернионом, – был тот самый друг Вордсворта, Уильям Роуэн Гамильтон. Как известно, 16 октября 1843 года Гамильтон с женой шли вдоль Королевского канала в Дублине, когда… Давайте дадим слово самому Гамильтону.

Хотя она время от времени разговаривала со мной, в моей голове шла подспудная работа мысли, которая в итоге дала результат, и не будет преувеличением сказать, что я сразу понял его важность. Казалось, замкнулась электрическая цепь и проскочила искра… Я не смог устоять перед побуждением – каким бы противоречащим философии оно ни было, – проходя по мосту Брумридж, вырезать ножом на его каменной кладке фундаментальную формулу…

Гамильтон большую часть оставшейся жизни изучал следствия из своего открытия. Излишне говорить, что он написал о нем стихотворение. («Наука высших сфер с суровым очарованием чисел и фигур влекла нас за собой, и мы стремились узреть ее нерожденное потомство…» В общем, вы уловили идею.)

СКРОНЧМЕТРИЯ

Мы также можем повернуть ручку в сторону ослабления условий и рассмотреть более широкий спектр преобразований. Мы могли бы разрешить увеличение и уменьшение так, чтобы показанные далее фигуры считались равными.

Некоторые величины, раньше бывшие инвариантами (например, площадь треугольников), в таком более мягком представлении о тождественности уже ими не будут. Однако другие величины (например, углы) инвариантами остаются. На школьных уроках геометрии фигуры, одинаковые в этом более широком смысле, назывались подобными.

А еще мы можем изобрести совершенно новые понятия, с которыми никогда не сталкивались в школе. Мы можем, скажем, разрешить преобразование под условным названием скронч, которое будет растягивать фигуру по вертикали с определенным коэффициентом и одновременно сжимать ее по горизонтали с тем же коэффициентом[97].