Фотопейзаж и компьютер

Что получится, если из изображения вычесть некоторые частоты? Или чуть-чуть размыть спектрограмму? Результат показан на рисунке 5.11. Можно видеть, что вычитание частот приводит к появлению на изображении полос, которые ранее компенсировались вычтенными частотами. А изменения фазы сильнее влияет на картинку, чем аналогичное по величине изменение амплитуды.

Рис. 5.10. Пиксели спектрограммы, дающие волны с направлениями, лежащими в узком секторе (пояснения в тексте).

Рис. 5.11. Изображения, восстановленные после изменений спектра Фурье (пояснения в тексте).

Таким образом, типичное изображение пейзажа состоит из небольшого количества низкочастотных пространственных волн с большой амплитудой и миллионов волн разных направлений и более высоких частот с ничтожно малыми амплитудами. В сумме получается изображение, в котором пространственных волн может быть совсем не видно.

На рисунке 5.12 показано распределение амплитуд спектра Фурье для этого же пейзажа в логарифмическом масштабе по обеим осям. Что произойдет с изображением пейзажа, если занулить все амплитуды, меньшие некоторого порога?

На рисунках 5.13 и 5.14 показаны картинки и соответствующие им спектры для нескольких значений порогов.

Рис. 5.12. Распределение амплитуд спектра Фурье в логарифмическом масштабе (пояснения в тексте).

Рис. 5.13. Последствия зануления всех амплитуд спектра Фурье, меньших некоторого порога.

Рис. 5.14. Последствия зануления всех амплитуд спектра Фурье, меньших некоторого порога.

Предположим, что мы применили инструмент «кривые» к спектрограмме амплитуд, а затем результат преобразовали в изображение. Что получится?

Если увеличить глобальный контраст спектрограммы, то это будет означать, что большие амплитуды станут больше, а малые – меньше. Если изменения затронут небольшое количество частот, то, скорее всего, появятся полосы и сетка из пятен.

Действительно, яркость точки изображения равна сумме амплитуд (с учетом фаз) всех возможных волн в этой точке. Часть этих амплитуд будет увеличена нашим преобразованием, а часть – уменьшена. В среднем можно полагать, что светлые точки изображения содержат больше больших амплитуд, чем маленьких, и, следовательно, яркости светлых точек увеличатся. Соответственно, яркости темных точек уменьшатся. Значит, произойдет усиление контраста изображения. Но это – в среднем. В реальности увеличение яркостей светлых точек окажется неодинаковым для точек одной и той же яркости, а будет зависеть от соотношения количества больших и малых амплитуд волн – слагаемых яркости в этой точке.

Редактируя попиксельное представление, мы изменяем изображение в определенном кусочке картинки. Редактируя представление в виде разложения Фурье, мы изменяем только те вариации яркости картинки, которые изображаются с помощью определенного набора пространственных частот, но зато во всем изображении сразу.

Изменяя представление изображения пейзажа в виде разложения Фурье можно сделать следующее:

• размыть картинку (подавление высоких частот);

• выделить границы (подавление низких частот);

• повысить резкость (усиление высоких частот);

• изменить контраст (пример, см. в главе 6);

• увидеть свойства изображения (периодические составляющие), невидимые в обычном представлении.

Другие применения:

• сжатие изображения в формате jpeg (подавление высоких частот);

• удаление периодического шума;

На практике разложить изображение на слои, соответствующие разным интервалам пространственных частот, можно разными способами:

• воспользоваться готовыми программами (например, ImageMagick);

• в графическом редакторе применить гауссово размывание, фильтр высоких частот (High Pass) и нужные режимы наложения слоев;

• в графическом редакторе выполнить операцию свертки с нужными ядрами;

• написать программку (5–10 строк) на MATLAB или octave.

5.3. Вейвлет-разложение

Вейвлет-разложение (wavelet, маленькая волна, всплеск, «барашек») вместо бесконечных двухмерных синусоидальных волн (как это делает разложение Фурье) использует специальные одномерные функции, отличные от нуля только на небольшом интервале (носителе функции). Определено около сотни семейств вейвлет-функций, которые различаются симметрией, гладкостью, частотами спектра Фурье и другими свойствами.

Рис. 5.15. Представители некоторых семейств вейвлет-функций.