Фотопейзаж и компьютер

Однако в обработке изображений существует аналог принципа неопределенности Гейзенберга, который в данном случае утверждает, что нельзя одновременно абсолютно точно определить пространственную частоту и точку в изображении, где эта частота проявляется. Для разложения Фурье частота известна точно, а о точке не известно ничего. Для вейвлет-разложения с увеличением масштаба полоса частот уменьшается, и частота определяется все более точно, но зато размер окрестности точки увеличивается, и положение точки становится менее точным. И, наоборот, с уменьшением масштаба размер окрестности точки уменьшается, и точность определения положения возрастает, но зато полоса частот увеличивается, и точность определения частоты ухудшается.

Коэффициенты вейвлет-разложения определенного масштаба (степени сжатия/растяжения) можно изобразить, заменив каждый rgb-пиксель исходного изображения на 3 коэффициента разложения, по одному коэффициенту для каждого цветового канала. Полученные картинки (скалеограммы) для разных масштабов (разрешений) объединяются в одну в виде мозаики.

При использовании одномерных вейвлет-функций для преобразования двухмерного изображения возможны два подхода. Первая итерация в обоих случаях выполняется одинаково. Начальное разрешение (степень сжатия/растяжения вейвлет-функции) выбирается исходя из частоты Найквиста, то есть так, чтобы носитель начальной вейвлет-функций соответствовал удвоенному размеру пикселя. Вейвлет-коэффициенты вычисляются по строкам и по колонкам независимо.

При разложении по горизонтали вейвлет-коэффициенты вычисляются для каждой второй точки в строке пикселей. Получаем две картинки вдвое меньшего размера: высокочастотную часть (ВЧ, собственно вейвлет-разложение заданного масштаба) и остаточный слой (НЧ, низкочастотную часть).

При разложении по вертикали коэффициенты вычисляются для каждой второй точки в столбце пикселей и тоже получаются два варианта (ВЧ и НЧ).

Берем все комбинации этих двух пар вариантов и получаем следующие четыре матрицы коэффициентов:

1) НЧ по горизонтали и НЧ по вертикали (обозначим как гв);

2) ВЧ по горизонтали и НЧ по вертикали (Гв);

3) НЧ по горизонтали и ВЧ по вертикали (гВ);

4) ВЧ по горизонтали и ВЧ по вертикали (ГВ).

Поскольку обе размерности каждой из этих матриц в два раза меньше соответствующих размерностей исходного изображения, то все четыре матрицы как раз укладываются на площади исходной картинки (см. рисунок 5.17) по следующей схеме:

Все четыре части (клетки) картинки содержат коэффициенты вейвлет-разложения для одного и того же (в данном случае – исходного) разрешения. А различаются они тем, в каком направлении осуществлялось разложение: клетка гВ – по столбцам, клетка Гв – по строкам, клетка ГВ – и по столбцам, и по строкам, т. е., можно сказать, по диагонали. Клетка гв – остаточный слой двухмерного разложения при данном разрешении.

Рис. 5.17. Первая итерация вейвлет-разложения двухмерного изображения (пояснения в тексте, контраст усилен, кроме изображения остаточного слоя).

На рисунке 5.18 показаны изображения, восстановленые с использованием только тех вейвлет-коэффициентов, которые получены при разложении в определенном направлении (объединены слои для всех разрешений плюс остаточный слой).

Рис. 5.18. Объединение слоев вейвлет-разложения с разным направлением (пояснения в тексте).

Для второй итерации растягиваем начальную вейвлет-функцию в два раза (или, что эквивалентно, применяем начальную функцию для изображения, уменьшенного в два раза) и вычисляем коэффициенты разложения для нового разрешения. Возможны два варианта:

1) обрабатываем только остаточный слой (клетку «гв»), чтобы извлечь из него новые, более крупные детали (этот алгоритм называется «вариант JPEG2000», см. рисунок 5.19); клетки Гв и гВ содержат только «детали деталей», они менее интересны, и на этом можно сэкономить;

2) обрабатываем все самые левые и самые верхние клетки, т. е., все те, которые еще могут содержать детали (этот алгоритм называется «тензорный вариант», см. рисунок 5.20);

Рис. 5.19. Вторая итерация вейвлет-разложения двухмерного изображения («вариант JPEG2000», пояснения в тексте, контраст усилен, кроме изображения остаточного слоя).

На рисунке 5.21 показаны скалеограммы обоих методов для пяти итераций.

Примеры применения вейвлет-разложения для обработки фотографий пейзажей приведены в главе 6.