Фотопейзаж и компьютер

Выбрав конкретную вейвлет-функцию из некоторого семейства, мы можем для любого пикселя изображения вычислить вклад этой функции в окрестность данного пикселя. Для этого потребуется через этот пиксель провести прямую линию в некотором направлении, сдвинуть вейвлет-функцию вдоль этой линии так, чтобы центр функции пришелся на выбранный пиксель, и проинтегрировать (то есть, усреднить) вдоль этой линии произведение вейвлет-функции и яркости картинки. Получим число, равное вкладу данной вейвлет-функции в окрестность этого пикселя вдоль выбранного направления. Пройдясь по всем пикселям изображения, не меняя выбранного направления линий, получим матрицу чисел, описывающую вклад данной вейвлет-функции в каждую точку полного изображения вдоль выбранного направления.

Полученная матрица является одним слоем вейвлет-разложения и содержит только часть информации об изображении. Во-первых, длина отрезка, на котором выбранная вейвлет-функция отлична от нуля (носитель функции), задает масштаб тех деталей изображения, вклад которых учитывается. Вклады более мелких и более крупных деталей теряются (усредняются). Во-вторых, полученная картинка описывает вклад в изображение только тех изменений яркости, которые идут в выбранном нами направлении.

Чтобы получить вейвлет-разложение, содержащее всю информацию об изображении, нужно проделать описанное выше действие для разных длин носителей вейвлет-функции (разных разрешений) и вдоль разных направлений. Различные длины носителей получают, последовательно сжимая или растягивая выбранную вейвлет-функцию по горизонтали в два раза. В качестве направлений берут горизонтальное и вертикальное.

На рисунке 5.16 показан снимок пейзажа, 9 слоев вейвлет-разложения для разных разрешений и остаточный слой. Остаточный слой описывает вклад в картинку всех сильно растянутых вейвлет-функций (с большим носителем), что соответствует результату применения низкочастотного фильтра. Каждый из остальных слоев содержит вклад вейвлет-функций, имеющих определенный коэффицинт сжатия/растяжения (определенную длину носителя). Чем сильнее сжата функция, тем более мелкие детали изображения проявляются в данном слое. В этом смысле слой содержит информацию, полученную применением к изображению полосового фильтра, причем, чем сильнее сжата функция, тем больше средняя частота полосы и тем шире полоса частот. На практике остаточный слой получают вычитанием из исходного изображения всех полученных слоев вейвлет-разложения.

Если коэффициенты разложения Фурье изображаются в виде спектрограмм, то коэффициенты вейвлет-разложения двухмерного изображения представляются в виде скалеограмм.

Так же, как и в случае разложения Фурье, вейвлет-разложение выполняется для каждой координаты цветового пространства независимо. Полученные коэффициенты интерпретируются как координаты этого же цветового пространства, поэтому изображения слоев имеют цвет (так же как и спектрограммы Фурье). Коэффициенты вейвлет-разложения могут быть отрицательными, а яркости пикселей – нет, поэтому коэффициент, равный нулю, изображается 50 %-м серым цветом. Положительные коэффициенты светлее, а отрицательные – темнее. На рисунке контраст изображений слоев увеличен, чтобы картинки стали понятнее.

Рис. 5.16. Вейвлет-разложение: а) исходный снимок; б) остаточный слой; в) слои с разными разрешениями (контраст увеличен).

Если для разложения Фурье вычисляются амплитуда и фаза, с которыми данная пространственная частота присутствует во всем изображении, то для вейвлет-разложения вычисляется амплитуда, с которой вейвлет-функция, растянутая или сжатая с данным коэффициентом, дает вклад в окрестности данной точки изображения. Амплитуды растянутых вейвлет-функций дают картинку с низким разрешением. Амплитуды сжатых вейвлет-функций дают картинку с высоким разрешением. Для каждого коэффициента сжатия/растяжения получается картинка всего изображения соответствующего разрешения.

Коэффициент разложения Фурье описывает пространственную волну, присутствующую в изображении, но она относится не какому-то определенному месту картинки, а ко всему изображению сразу. Вейвлет-коэффициент вычислен для окрестности конкретной точки картинки и для конкретного разрешения (коэффициента сжатия/растяжения). Разрешение определяет полосу частот, поэтому в вейвлет-коэффициенте содержится информация как о частоте, так и о точке картинки, к которой эта частота относится.