Фрактальная геометрия природы

Эта персистентность в равной степени является и предметом живого интереса со стороны самых разных ученых, и жизненно важным фактором для проектировщиков плотин. Однако в течение долгого времени она оставалась недоступной измерению, а следовательно, и анализу. Как всякая наука, делающая свои первые шаги в статистике, гидрология начала с допущения, что последовательные объемы стока любой реки представляют собой независимые, одинаково распределенные гауссовы переменные, или белый гауссов шум. Следующим шагом стало допущение существования между ними марковской зависимости. Обе модели, однако, ни в малейшей степени не соответствуют реальности. Прорыв произошел вместе с выходом моей работы [348], основанной на эмпирических результатах Херста [232, 233]. (Биографию Херста читайте в главе 40.)

ФЕНОМЕН ХЕРСТА. ПОКАЗАТЕЛЬ H

Обозначим через X^*(t) совокупный сток реки за первый период от начала нулевого года до конца t - го года. Согласуем его посредством вычитания выборочного среднего стока за период между нулевым и d - м годами и определим величину R(d) как разность между максимумом и минимумом согласованного стока X^*(t) при 0. При таком определении величина R(d) представляет собой пропускную способность, какой должен обладать водоем для обеспечения идеального функционирования на протяжении соответствующего числа лет (d). Водоем функционирует идеально, если уровень воды в нем в конце и в начале указанного периода одинаков, водоем никогда не пустеет, никогда не переполняется и производит однородный поток. Идеал, очевидно, недостижим, однако величину R(d) вполне можно брать за основу метода проектирования водохранилищ, - например метода, предложенного Рипплом и примененного при строительстве Асуанской плотины. Херсту пришло в голову, что R(d) можно использовать и в качестве инструмента исследования действительного поведения статистики речных стоков. Из соображений удобства он разделил R(d) на коэффициент подобия S(d) и рассмотрел зависимость отношения R(d)/S(d) от d.

Если допустить, что объемы годовых стоков представляют собой белый гауссов шум, то коэффициент S теряет свою значимость, а совокупный сток X^*(t), согласно известной теореме, приблизительно совпадает с броуновской функцией из прямой в прямую B(t). Следовательно, пропускная способность R(d) прямо пропорциональна среднеквадратическому объему стока X^*(d), который, в свою очередь, прямо пропорционален √d. Отсюда получаем R/S∝√d (см. [146]). Тот же результат верен и в том случае, если объемы годового стока зависимы, но зависимость эта марковская с конечной дисперсией, или в том случае, когда зависимость объемов стока принимает какую-либо из форм, описанных в элементарных учебниках по статистике или теории вероятности.

Однако, руководствуясь результатами наблюдений, Херст пришел к совершенно иному и абсолютно неожиданному выводу, который заключается в том, что R/S∝d^H, где H почти всегда больше ½. Объемы годового стока Нила (самые зависимые из всех) демонстрируют H=0,9. Для рек Св. Лаврентия, Колорадо и Луары показатель H находится где-то между 0,9 и ½. Рейн – река особенная, ее совершенно не волнует ни история Иосифа, ни феномен Херста, и она держит показатель H на уровне ½ с точностью до экспериментальной погрешности. Результаты всевозможных наблюдений можно найти в работе [407].

ШУМ ХЕРСТА – МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЙ ШУМ

Флуктуацию (или шум) X(t), для которой выполняется соотношение R/S∝d^H, я предлагаю называть шумом Херста. В [384] показано, что величина показателя должна удовлетворять неравенству 0≤H≤1.