Фрактальная геометрия природы

Рандомизация кривых Пеано через срединное смещение проходит так гладко только благодаря исключительным обстоятельствам. Аналогичные конструкции, имеющие в своей основе кривую Пеано с N>2, значительно более сложны. Кроме того, если смещение средней точки следует гауссову распределению среднеквадратического значения, равного ½|ΔB| (т.е. r₁ и r₂ суть гауссовы независимые переменные, связанные уже знакомым нам соотношением 1²+r₂²−1>=0), то тем самым достигается более тесный параллелизм с неслучайным скейлингом. Получаемый в этом случае процесс весьма интересен. Только он не является броуновским движением. И все из-за складок.

РАЗМЕРНОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ ЧАСТИЦ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

В качестве достойного завершения этого обсуждения можно упомянуть об одной фрактальной морщине, появившейся недавно на лике квантовой механики. Фейнман и Хиббс [150] отмечают, что типичная траектория квантовомеханической частицы непрерывна и недифференцируема; кроме того, многие авторы усматривают явное сходство между броуновским и квантовомеханическим движениями (см., например, статью [441] и список литературы к ней). Вдохновившись этими параллелями и моими первыми эссе, Эббот и Уайз [2] показали, что наблюдаемая траектория частицы в квантовой механике представляет собой фрактальную кривую с размерностью D=2. Интересная аналогия – по крайней мере, в педагогическом смысле.

26 СЛУЧАЙНЫЕ КРИВЫЕ СРЕДИННОГО СМЕЩЕНИЯ

Повествование, продолжаемое в этой главе, имеет логическое начало в середине предыдущей главы, сразу после раздела о генерации броуновского движения посредством рандомизации кривой Пеано.

Напомним, что k - й терагон броуновской функции B(t) прямолинеен между двумя последовательными моментами времени вида h2^−k, а (k+1) - й терагон получается посредством случайного смещения средних точек сторон k - го терагона. То же относится и к терагонам X_k(t) и Y_k(t) координатных процессов X(t) и Y(t) функции B(t).

Поскольку процедура срединного смещения проходит совершенно гладко с кривыми, размерность которых D=2, возникает вполне естественное желание попробовать адаптировать ее к оригинальной снежинке и другим кривым Коха с N=2, а затем применить упомянутую процедуру к построению поверхностей. Этим мы сейчас и займемся.

Пытаясь воспроизвести и улучшить графику «Фракталов» 1977 г. и обойтись при этом наиболее прямыми и наименее дорогостоящими процедурами, многочисленные художники, специализирующиеся в создании фильмов и графических работ с помощью компьютера, применяли, как правило, один и тот же общий подход. Эти специалисты оказались не способны осознать, что метод случайного срединного смещения дает результаты, существенно отличающиеся от тех, что они стремились достичь. Простота и в самом деле входит в число достоинств этого метода, однако вместе с тем он обладает многими другими, часто вовсе нежелательными особенностями.

ПРОСТРАНСТВЕННО НЕОГРАНИЧЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ КРИВЫЕ КОХА С ВРЕМЕННÓЙ РЕШЕТКОЙ

Напомним, что можно построить снежинку Коха с основанием N=2, используя генератор, составленный из двух интервалов длины 1/√3. В этом случае – вообще говоря, в любом случае, когда генератор состоит из двух интервалов длины 2^−1/D, где D<2, - само построение определяет, в каком направлении смещаются средние точки сторон - го терагона: влево или вправо. Смещение всегда ортогонально к соответствующей стороне, и квадрат его длины задается следующей разностью:

2^−2(k+1)/D−2^−2(k/D+1).

Рандомизация такого построения происходит так же, как и преобразование кривой Пеано в броуновское движение. Направление смещения полагаем случайным и изотропным, вне зависимости от того, каким оно было на предыдущем этапе; распределение длины смещения полагаем гауссовым, а вышеприведенную формулу применяем к среднеквадратическому смещению. При этом мы не предпринимаем ничего для предотвращения самопересечений, и предельная фрактальная кривая просто изобилует ими. Обозначим ее через B^*_H(t), где H=1/D, что вскоре получит исчерпывающее объяснение.

В результате соотношение между смещением ΔB^*_H на временнóм промежутке 2^−k и двумя интерполированными смещениями Δ₁B^*_H и Δ₂B^*_H принимает вид

<|Δ₁B^*_H|^D+|Δ₂B^*_H|^D−|ΔB^*_H|^D>=0,

где D - некоторая произвольно заданная величина, меньшая 2.

Отсюда следует, что если временной интервал [t',t"] является двоичным, т.е. если t'=h2^−k и t''=(h+2)2^−k, то верно следующее:

<|ΔB^*_H|²>=Δt^2/D=|Δt|^2H.

Величину H в качестве параметра мы выбрали потому, что она представляет собой показатель при среднеквадратическом смещении.

Можно также показать, что если ΔB^*_H(0)=0, то функция B^*_H(t) статистически самоподобна относительно отношений приведения вида 2^−k. Это – весьма желательное обобщение наших знаний о конструкциях с размерностью D=2.