Фрактальная геометрия природы

Такие ограничения противоречат второму доводу в пользу рандомизации фракталов, изложенному в главе 22. Более того, в большинстве занимающих нас случаев они не имеют никакого физического смысла. И вот теперь, в главах 27 – 35, мы займемся, наконец, фракталами, инвариантности которых и при сдвиге, и при преобразовании подобия остаются ничем не ограниченными.

В этой главе мы рассмотрим обобщенное броуновское движение (обозначив его через B_H(t)), которое в [404] называется дробным броуновским движением (сокращенно, ДБД). В качестве мотивации здесь выступит необходимость отыскания закономерности изменения объемов годового стока рек, а кроме того, упоминаются масштабно-инвариантные сети и шумы («1/f- шумы). Главы 28 – 30 посвящены исследованию соответствующих поверхностей.

КАК ВАЖНО БЫТЬ ГАУССОВЫМ

Первой чертой, объединяющей главы 27 – 30, является то, что все они занимаются исключительно гауссовыми процессами. Статистики полагают, что «гауссовость» непременно представляет собой нечто чрезвычайно особенное, однако я с некоторых пор не разделяю эту точку зрения. (см. мои замечания по этому поводу в главе 42.) Тем не менее, гауссовы процессы остаются своего рода эталонным тестом, и их следует изучить прежде, чем мы начнем двигаться дальше.

НЕРЕКУРСИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Еще одна присущая главам 27 – 30 особенность не встречается ни в каком другом месте настоящего эссе.

Конструкции (и случайные, и нет), описываемые в других главах, строятся рекурсивно, т.е. посредством добавления все более мелких деталей к менее детализированным формам, полученным на предыдущих этапах построения. Свойства получающегося при этом фрактала выводятся из правил построения.

Теперь же мы начинаем с объявления желательными тех или иных свойств и только затем находим такие правила построения, которые удовлетворяли бы нашим пожеланиям. Хотя искомые свойства легко формулируются и выглядят простыми, реализующие их правила, к сожалению, нерекурсивны и, более того, часто весьма неприятны.

Если все так плохо, то почему же мы продолжаем настаивать на этих свойствах? Потому что в их число входят такие свойства, как самоподобие и отсутствие складок (т.е. стационарность), составляющие самую суть науки вообще и теории фракталов, в частности.

Относительная ценность «аксиоматического» подхода, используемого в этой главе, видна особенно отчетливо, когда его результат сравнивается с фракталом, полученным рекурсивно. Представьте себе, например, что вы исследуете какой-то конкретный случай, требующий построения плоской фрактальной кривой, размерность D которой лежит где-то между 1 и 2, и не можете решить, какой метод для этого использовать: процесс срединного смещения из главы 26 или процесс, описываемый ниже. В первом неизбежны складки, тогда как второй лишен этого недостатка. А последовательность дискретных этапов, из-за которой рекурсивные построения представляются столь привлекательными, оборачивается в большинстве случаев возникновением слоев, не имеющих никакого смысла, а зачастую и вовсе нежелательных.

ЭФФЕКТ ИОСИФА И ЭФФЕКТ НОЯ

Прозвучавшее в первой главе утверждение о том, что негладкие природные структуры издавна привлекали внимание людей, как правило, очень трудно подтвердить документально. Однако в Библии имеются два совершенно очаровательных исключения из этого правила:

«…и отворились все источники земные, и отверзлись хляби небесные. И лил дождь на землю сорок дней и сорок ночей.» Бытие, 6: 11-12.

«… и были семь лет великого изобилия во всей земле египетской. И были после них семь лет голода.» Бытие, 41: 29-30.

В истории Ноя сложно не увидеть иносказательного повествования о неравномерности выпадения осадков на Ближнем Востоке, а в истории Иосифа – о том, что дождливые и засушливые годы имеют тенденцию группироваться по нескольку подряд. В курсе лекций «Новые формы случайностей в науке» (не опубликованном, но частично изложенном в [405] и [373]) я даже предложил для описываемых в этих историях явлений особые термины: эффект Ноя и Эффект Иосифа.

Как подтверждают данные из достоверных источников, библейские «семь и семь» лет представляют собой не что иное, как поэтическое упрощение реальности, а любая кажущаяся периодичность в записях об уровне воды в Ниле – не более чем иллюзия (хотя это уже не так очевидно). С другой стороны, твердо установленным фактом является то, что последовательные годовые данные по стоку и уровню паводка Нила и многих других рек демонстрируют чрезвычайно высокую степень персистентности.