Фрактальная геометрия природы

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ

Не будем, однако, радоваться слишком бурно. Функция B^*_H(t) является статистически самоподобной относительно отношений приведения иного, нежели 2^−k, вида только в пеано – броуновском случае (D=2), когда она сводится к B(t).

Более серьезная проблема возникает тогда, когда интервал [t',t"] не является двоичным, хотя и имеет ту же длину Δt=2^−k - например, если t'=(h−0,5)2^−k и t''=(h+0,5)2^−k. На таких интервалах приращение ΔB^*_H имеет иную и меньшую дисперсию, зависимую от k. Нижняя граница этой дисперсии выглядит как 2^1−2HΔt^2H. Более того, если известна величина Δt, а время t не известно, то распределение соответствующего приращения ΔB^*_H не является гауссовым, но представляет собой случайную смесь различных гауссовых распределений.

В результате складки, возникающие в двойных точках аппроксимирующего терагона, остаются и в предельной кривой. При размерности D чуть меньше 2 (т.е. при H чуть больше ½) складки довольно незначительны. Однако когда значение H приближается к 1 (в главе 28 мы увидим, что при моделировании рельефа поверхности Земли нам приходится иметь дело с H~0,8÷0,9), складки становятся очень заметными – их можно увидеть и на выборочных функциях. Единственным способом избежать их оказывается отказ от рекурсивной схемы срединного смещения, что мы и сделаем в следующем разделе и в главе 27.

СЛУЧАЙНО РАЗМЕЩЕННЫЕ СЛОИ

Для того чтобы установить причину нестационарности кривых и поверхностей срединного смещения, рассмотрим координатную функцию X(t) некоторой кривой B^*_H(t). На каждом этапе построения мы получаем некоторую ломаную функцию Δ_kX(t)=X_k(t)−X_k−1(t), нуль – множество которой, во-первых, периодично с периодом 2^−k и, во-вторых, включает в себя нуль – множество функции Δ_k−1X(t). То есть можно сказать, что каждая такая ломаная функция находится в синхронии со всеми последующими.

Из-за того, что нуль - множества периодичны и синхронны («иерархичны»), приращения не могут быть стационарными. И наоборот, стационарности можно достичь путем устранения этих свойств.

Один из подходов состоит в построении ломаной функции ΔB_k^f(t) следующим образом. Выберем пуассоновскую последовательность моментов времени t_n^(k) со средним числом точек на единицу времени, равным 2^k, затем положим, что функция принимает независимые и одинаково распределенные случайные значения, и, наконец, произведем линейную интерполяцию между моментами времени t_n^(k). Бесконечная сумма B_H^f(t) таких вкладов представляет собой некую стационарную случайную функцию, впервые описанную в докторской диссертации гидролога О. Дитлефсена (1969). (См. также [424] и [370].)

Оглянувшись назад, мы видим, что такое обобщение вовсе не требует, чтобы среднее число нулей было равно 2^k. Оно может иметь вид b^k, где b - любая вещественная база, большая 1.

Допустимые отношения приведения соответствующего фрактала задаются дискретной последовательностью r=b^−k. По мере того, как b→1, эта последовательность становится все более плотной, - в сущности, асимптотически непрерывной. Таким образом, функция B_H^f(t) становится как нельзя более приемлемой для тех, кому нужны стационарность и широкий выбор коэффициентов подобия. Однако при этом она, к сожалению, теряет свою специфичность. Из рассуждений в [370] явствует, что функция B_H^f(t) сходится к случайной функции B_H(t), которую мы рассмотрим в следующей главе.

Рис. 345. В роли художника – ошибка в программе, опус 1

Авторство этой иллюстрации можно частично приписать ошибочному программированию. Ошибку вовремя распознали и исправили (после сохранения результата, разумеется!); конечным результатом вы можете полюбоваться на рис. 424 – 427.

Изменения, явившиеся результатом пустяковой ошибки в критическом месте, далеко превзошли наши наихудшие опасения.

Очевидно, что по замыслу в «правильных» иллюстрациях должен был наличествовать весьма строгий порядок. Здесь этот порядок оказался нарушен, причем никакого другого порядка также не наблюдается.

То, что эта иллюстрация – по крайней мере, на первый взгляд, - вполне может сойти за произведение высокого искусства, явно не случайно. Свои соображения на этот счет я вкратце высказал в [399] и намерен изложить их в полном виде в самом ближайшем будущем.

IX ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЫ

27 СТОКИ РЕК. МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ СЕТИ И ШУМЫ

Переход к дробным броуновским фракталам знаменует собой один из важнейших поворотных пунктов настоящего эссе. До сих пор мы придерживались фракталов, связанных с временными и/или/ пространственными решетками, которые налагали определенные ограничения на свойства инвариантности фракталов, т.е. на допустимые преобразования сдвига и подобия, отображающие данный фрактал на себя.