Фрактальная геометрия природы

Более того, аффинные пространства таковы, что расстояния вдоль оси t и расстояния вдоль осей X(t) и Y(t) нельзя сравнивать друг с другом, а это означает, что диски определить невозможно. В результате соотношение M(R)∝R^D не имеет в случае броуновских функций аналога, который мог бы послужить для определения размерности D.

С другой стороны, к ним применимо определение Хаусдорфа – Безиковича. Это вполне согласуется с высказанным в главах 5 и 6 утверждение о том, что определение размерности Хаусдорфа – Безиковича представляет собой наиболее общий – и наиболее громоздкий! – способ интуитивного постижения содержания понятия фрактальной размерности. Значение D для функции X(t) равно 3/2, а для функции B(t) D=2.

Набросок доказательства. На протяжении временнóго промежутка Δt значение разности maxX(t)−minX(t) есть величина порядка √Δt. Для покрытия этого подграфика функции X(t) квадратами со стороной Δt потребуется порядка 1/√Δt квадратов. Следовательно, для покрытия графика на интервале от t=0 до t=1 потребуется порядка (Δt)^−3/2 квадратов. А поскольку это число равно также (Δt)^−D (см. главу 5), можно эвристически заключить, что D=3/2.

ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ СЕЧЕНИЙ

Нуль – множество броуновской функции из прямой в прямую представляет собой горизонтальное сечение броуновской функции X(t). Применив правило, сформулированное в главе 23, можно предположить, что размерность нуль –множества составляет 3/2−1=1/2; как нам уже известно, так оно и есть. Другие приложения этого правила также обладают огромной эвристической ценностью, в чем мы убедимся немного позже. Правило это имеет и исключения, особенно в случае не изотропных фракталов. Например, вертикальное сечение броуновской функции из прямой в прямую – это всего лишь точка.

Рассуждая аналогичным образом, находим размерность линейного сечения броуновского следа из прямой в плоскость: 2−1=1, и это в самом деле так.

В более общем виде стандартное правило можно сформулировать следующим образом: если не считать особых конфигураций, коразмерности E−D при пересечении складываются. Следовательно, коразмерность пересечения k плоских броуновских следов равна k⋅0=0. В частности, можно ожидать, что точки самопересечения броуновского следа образуют множество с размерностью 2 (в самом деле, образуют). (И все же многочисленные точки самопересечения броуновского следа, равно как и сам броуновский след, не в состоянии заполнить плоскость.)

Правило сложения коразмерностей можно использовать для доказательства следующего утверждения (некоторое время назад мы уже говорили об этом): броуновское движение почти наверное не возвращается в свою начальную точку B(0)=0, однако почти наверное бесконечно часто проходит в произвольной окрестности этой точки. Для того чтобы придать нашим рассуждениям более общий вид и сделать их пригодными для последующего применения в главе 27 без дополнительной корректировки, обозначим размерность броуновского нуль – множества буквой H.

В моменты возвращения B(t) в 0 одновременно выполняются следующие равенства: X(t)=0 и Y(t)=0. Следовательно, эти моменты должны принадлежать пересечению нуль – множеств функций X(t) и Y(t), каковые множества не зависят друг от друга. Размерность пересечения равна 1−2H, что при H=½ составляет D=0. Такое значение размерности можно расценивать как явный намек (но всего лишь намек, так как полное доказательство гораздо сложнее) на то, что B(t) почти наверное не возвращается в точку B(0)=0.

А теперь рассмотрим множество моментов времени, когда B(t) попадает в точку, расположенную внутри горизонтального квадрата со стороной 2ε и центром в точке 0. Это множество можно приближенно представить как пересечение множеств моментов t, находящихся на расстоянии ε^1/H от точек нуль – множеств функций X(t) и Y(t), соответственно. Для каждого из этих множеств масса, заключенная во временнóм промежутке [0,t], пропорциональна ε^1/Ht_1−H, а вероятность того, что именно этот промежуток содержит нужный момент t, пропорциональна ε^1/Ht^−H. Следовательно, вероятность того, что момент tпринадлежит пересечению этих множеств, пропорциональна ε^2/Ht^−2H. Поскольку H=½, получаем ∫^∞t^−2Hdt=∞; на этом основании в теореме, предложенной Борелем и Кантелли, делается вывод, что количество возвращений B(t) в квадрат с центром в точке 0 почти наверное бесконечно. Впрочем, можно сказать и «чуть ли не бесконечно». Как следствие, пустоты в ограниченных броуновских сетях начинают – медленно и с видимой неохотой – заполняться.

СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ЧАСТОЙ РЕШЕТКЕ

Можно генерировать броуновское движение и случайным блужданием на решетке. Здесь мы только упомянем о возможности такого подхода; более подробное обсуждение, ввиду наличия в нем некоторых сложностей, отложим до главы 36.