Фрактальная геометрия природы

Гауссовы приращения. Рандомизированная кривая Пеано становится броуновским следом B(t) тогда, когда срединные смещения следуют изотропному гауссову распределению. В плоскости квадрат модуля этой переменной распределяется экспоненциально. Следовательно, при прямом построении нам следует случайным образом выбрать на однородном интервале [0,1] точку U и определить модуль как |ΔM|=[−2lnU]^½.

Обобщение на пространство. Окончательное построение имеет смысл и при E>2.

РазмерностьD=2. Теорема Пифагора для средних представляет собой обобщенное определение размерности подобия. Она применима и к броуновскому следу, поскольку размерность Хаусдорфа – Безиковича в этом случае также равна 2. В применимости же ее к случаю негауссова распределения величины смещения средней точки еще предстоит разобраться.

БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ СЕТИ (РЕШЕТКИ)

Множественные самопересечения. Даже если остановить рандомизацию после первого же этапа, описанного в предыдущем разделе процесса, она успевает полностью нарушить идеальные дальний и ближний порядки, благодаря которым кривые Пеано избегают самопересечений. Рандомизированные терагоны самопересекаются уже на начальных этапах построения, а предельный след почти, наверное, содержит бесконечное количество самопересечений.

Броуновские пустоты. Общеизвестно, что броуновский след, экстраполированный для всех значений t от −∞ до +∞, плотно заполняет плоскость. Это свойство мы вскоре выведем заново. Однако след, ограниченный определенным промежутком времени, обладает собственной весьма примечательной геометрией – и я не припомню, чтобы ее кто-либо где-либо описывал.

Очевидно, в качестве компенсации за те точки, которые броуновский след B(t) покрывает за время t∈[0,1] несколько раз, остальные точки плоскости остаются непокрытыми. Эти непокрытые точки образуют открытое множество, которое разделяется на внешнее множество, содержащее точку в бесконечности, и бесконечное количество непересекающихся броуновских пустот. И внешнее множество, и каждая пустая область ограничены фрактальными кривыми, которые являются подмножествами следа. Следовательно, броуновский след можно считать фрактальной сетью – наглядные подтверждения этому вы найдете на рис. 340 и 341.

В главе 14 описана сеть с размерностью D, в которой число пустот площади U, превышающей некоторое заданное значение u, определяется соотношением Nr(U>u)∝u^−D/E. В случайном контексте при D=E=2 формальное обобщение имеет вид P(u)=Pr(U>u)∝u⁻¹. Однако в данном случае оно неприменимо, так как должен сходиться интеграл ₀∫P(u)du. В связи с этим я предполагаю, что P(u)=Pr(U>u)∝u⁻¹L(u), где L(u) - некая медленно изменяющаяся функция, которая убывает достаточно быстро для обеспечения сходимости упомянутого интеграла. Из-за необходимости введения непостоянной величины L(u) размерность D=2 в самоподобной разветвленной сети оказывается недостижима – точно так же, как недостижима она и в самоподобной простой кривой (см. главу 15).

Нулевая площадь броуновской сети. Несмотря на размерность броуновской сети (D=2), ее площадь равна нулю. То же должно быть верно и для пеано – броуновских гибридов.

Неограниченный след плотен в плоскости. Это свойство основывается на том факте (который мы установим несколько позже, когда будем говорить о нуль - множествах), что неограниченный след бесконечно часто «возвращается» в любую заданную плоскую область D - такую, например, как диск. А если взять любую произвольно малую область D и совместить ее центр с произвольной точкой Pна плоскости, то станет ясно, что неограниченный броуновский след подходит к каждой точке плоскости бесконечно много раз и на произвольно близкое расстояние.

Однако – в чем мы убедимся при рассмотрении тех же нуль – множеств – вероятность того, что некий конкретный след точно попадет в некую заданную точку, равна нулю, т.е. заданная точка почти наверняка оказывается не затронутой неограниченным следом.

Часть неограниченного следа, заключенную внутри области D, можно приближенно представить себе в виде исчислимо бесконечного множества независимых ограниченных сетей, наброшенных на область D. Результат напоминает исчислимо бесконечное множество точек, выбранных случайным образом и независимо друг от друга из интервала [0,1]. Общеизвестно, что такое множество везде плотно, однако длина его равна нулю.

ЗАВИСИМОСТЬ МАССЫ ОТ РАДИУСА