Фрактальная геометрия природы

Кроме того, переменная в броуновских функциях, рассматриваемых в главах 28 – 30, многомерна. Например, в одной из моделей земного рельефа в главе 28 предполагается, что высота точки поверхности является броуновской функцией от ее широты и долготы. Таким образом, часто возникает потребность в уточнении терминологии. При необходимости мы различаем броуновские функции и следы из прямой в прямую, из прямой в пространство, из пространства в прямую, из прямой в E - пространство и т.д.

Броуновские «поля». «Случайное поле» есть в действительности не рандомизированное (алгебраическое) поле, а всего лишь модный синоним (см., например, [13]) для термина «случайная ф1 нескольких переменных». Синоним этот ничем не оправдан, и его следует как можно скорее изъять из обихода, пока он не успел укорениться. Возник он, судя по всему, вследствие некомпетентного перевода с русского, как и термин «автомодельный» (его распространение я, к счастью, успел вовремя пресечь), появившийся в результате бездумного перевода русского термина «самоподобный».

ПЛОСКИЙ БРОУНОВСКИЙ СЛЕД, ПОСТРОЕННЫЙ КАК СЛУЧАЙНАЯ КРИВАЯ ПЕАНО ( N=2 )

Изучение броуновских следов проливает свет на природу кривых Пеано – и это при том, что броуновский след, как выяснилось, представляет собой не что иное, как рандомизированный вариант кривой Пеано. Я провел небольшой опрос среди случайно выбранной группы ученых, и ни один из них не признал идентичности этих двух построений; не упоминается об этом и в случайным образом отобранной мною (и тщательно просмотренной) пачке книг, посвященных данному предмету. Математики любыми способами избегают такого подхода, поскольку основная его составляющая (иерархия слоев с возрастающей детализацией, регулируемая двоичной временнóй решеткой) никак не связана с результатом построения. Это обстоятельство, по мнению математиков, придает данному подходу искусственный и надуманный характер – однако именно благодаря этому обстоятельству он замечательно вписывается в настоящее эссе.

Процесс можно начинать с любой кривой Пеано с N=2 и r=√2. Хитрость заключается в последовательном снятии различных ограничений при продвижении по этапам.

Промежуточные фракталы – «пеано – броуновские гибриды» - заслуживают отдельного подробного изучения в более подходящей обстановке.

Трансверсальное срединное смещение. В конструкциях, изображенных на рис. 98 – 102, на (k+1)-м этапе построения k-й терагон трансформируется путем трансверсального срединного смещения каждого прямолинейного интервала на величину ΔM=√2^−k−1 влево или вправо, в зависимости от четности числа k.

Обозначим смещения кривой Пеано за промежуток времени Δt=t^−k и за два половинных промежутка Δ₁t и Δ₂t через, соответственно, ΔP, Δ₁P и Δ₂P. Теперь теорему Пифагора можно записать так:

|ΔP|²=|Δ₁P|²+|Δ₂P|².

Направления изотропных смещений. В качестве нашего первого отступления от правил построения любой кривой Пеано попробуем рандомизировать направления смещения. Один подход предполагает равную вероятность смещений вправо и влево, давая в результате этакую «случайную прыг – скок – кривую». Другой подход состоит в случайном (однородной плотности) выборе точки на окружности, размеченной в градусах, и использовании полученной таким образом угловой величины. Смещения, определяемые такой процедурой, называются изотропными.

Теорема Пифагора применима к любому из упомянутых способов рандомизации: приращения изотропного движения на двоичных подынтервалах двоичного же интервала геометрически ортогональны.

Длины случайных смещений. Второе отступление от правил неслучайного построения: рандомизации подвергается и длина смещения. Начиная с настоящего момента, под величиной 2^−k−1 следует понимать уже не квадрат неслучайного |ΔM|, а среднеквадратическое значение случайного |ΔM|. В результате величины смещения ΔP^* удовлетворяют следующим выражениям:

<|Δ₁P^*|²>=<|Δ₂P^*|²>=¼<|ΔP^*|²>+<|ΔM|²>;

<|Δ₁P^*|²>+<|Δ₂P^*|²>=½<|ΔP^*|²>+2^−k.

Случайный инициатор. Следующим шагом будет использование в построении случайного инициатора, среднеквадратическая длина которого равна 1. Отсюда неизбежно следует, что <|ΔP^*|²>=2^−k−1, и мы получаем пифагорову теорему для средних:

<|Δ₁P^*|²>+<|Δ₂P^*|²>−<|ΔP^*|²>=0.

Иными словами, геометрически ортогональные отрезки заменяются отрезками, которые в теории вероятности называются статистически ортогональными или некоррелированными.

Независимые приращения. Срединные смещения можно теперь считать статистически независимыми, как внутри каждого отдельного этапа, так и между этапами.