Фрактальная геометрия природы

Величина √t в качестве коэффициента подобия характерна для большинства аспектов броуновского движения. Например, если измерить по прямой расстояние, которое покрывает броуновское движение за время t, то мы получим случайную величину, кратную √t. Аналогичным образом и общее время, проведенное броуновской точкой внутри окружности радиуса R с центром в точке B(0)=0, представляет собой случайную величину, кратную R².

Определив величину, пропорциональную времени, затраченному броуновским следом на прохождение того или иного своего участка, как «массу», а затем «взвесив» эти самые участки, мы обнаружим, что – как в плоскости, так и в пространстве (E≥2) - общая масса, заключенная внутри окружности радиуса R, определяется соотношением M(R)∝R².

Формально это соотношение полностью идентично тому, что мы получили для кривых Коха (глава 6) или канторовой пыли (глава 8). И тем более идентично соотношению для классических случаев интервала, диска или шара однородной плотности.

БРОУНОВСКИЙ СЛЕД: ОТСУТСТВИЕ «СКЛАДОК» И СТАЦИОНАРНЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ

Рандомизировав кривую Пеано, мы нежданно - негаданно получили гораздо больше, чем предполагали. В качестве предваряющего комментария заметим, что в моменты времени вида N^−k неслучайные кривые Коха и Пеано непременно демонстрируют «складки». Разделив, например, треть границы снежинки на четыре части, мы обязательно обнаружим, что угол между первой и второй четвертями отличается от угла между второй и третьей. То есть спутать левую четверть со средней просто невозможно.

Броуновский же след лишен таких «складок». Имея перед глазами броуновский след на некотором интервале времени t, никак нельзя сказать, где именно на временнóй оси расположен этот интервал. В терминологии теории вероятности принято говорить, что броуновский след имеет «стационарные приращения».

Это свойство заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, на нем основывается альтернативное, «безрешеточное», определение броуновского движения, данное несколько дальше в этой же главе, а во-вторых, оно не имеет соответствий среди свойств аналогичных рандомизированных форм простых фрактальных кривых и поверхностей.

БРОУНОВСКИЙ СЛЕД: САМОПОДОБИЕ

Из отсутствия складок вытекает весьма сильная форма статистического самоподобия. Положим B(0)=0, выберем два положительных числа h и h' и воспользуемся разделом теории вероятности, который называется теорией слабой сходимости. Согласно этой теории, функции h^−½B(ht) и h'^−½B(h't) статистически тождественны. Положив далее T<∞ и h<1 и изменяя t в интервале от 0 до T, мы обнаруживаем, что функция h^−½B(ht) представляет собой некоторое подобие участка функции B(t) в уменьшенном масштабе. Эту статистическую тождественность части целому можно рассматривать как форму самоподобия.

Самоподобие в приложении к случайным множествам – понятие не столь строгое, как то, с которым мы познакомились в главе 5, так как здесь части не обязательно должны быть в точности подобны целому. Достаточно того, что части и уменьшенное в масштабе целое имеют одинаковые распределения.

Заметим, что кривые Коха допускают только коэффициенты подобия вида r=b^−k, где b - целое число, для броуновского же следа сгодится любое r. Весьма ценное свойство.

БРОУНОВСКОЕ НУЛЬ – МНОЖЕСТВО САМОПОДОБНО . . .

Особое значение для изучения броуновских функций имеют множества постоянства, или изомножества, координаты функций X(t) и Y(t). Например, нуль – множество определяется в те моменты времени t, когда X(t)=0.

Изомножества самоподобны; их очевидная чрезвычайная разреженность подтверждается и их фрактальной размерностью D=1/2. Они представляют собой особый случай пыли Леви, которую мы рассмотрим в главе 32.

Распределение пустот в броуновских нуль – множествах. Длины пустот броуновского нуль – множества удовлетворяют соотношению Pr(U>u)=u^−D, где D=1/2. Аналогичное соотношение (Nr(U>u)=u^−D), как нам известно, применимо к длинам «пауз» в канторовой пыли; только здесь мы заменили Nr на Pr, а ступени исчезли из-за рандомизации.

А БРОУНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ВСЕГО ЛИШЬ САМОАФФИННА

Что же касается графиков функций X(t) и Y(t), а также векторной функции B(t), то они являются не самоподобными, а всего лишь самоаффинными. То есть участок кривой от t=0 до t=4 можно покрыть M=4 его уменьшенными копиями только при условии, что вдоль оси (осей) пространственных координат уменьшение по-прежнему происходит с коэффициентом подобия r=1/2, а временнáя координата при этом уменьшается с другим коэффициентом r²=1/M. Следовательно, размерность подобия для графиков функций X(t), Y(t) и B(t) не определена.