Фрактальная геометрия природы

«Впервые я услышал о нем несколькими годами позже выхода моего «Исчисления вероятностей», то есть году в 1928 плюс – минус год. Он был тогда кандидатом на должность профессора в Дижонском университете. Один из университетских преподавателей по фамилии Жевре обратился ко мне, желая услышать мое мнение о работе, опубликованной Башелье в 1913 г. (в сборнике «Annales de l'Ecole Normale»). В этой работе Башелье определил функцию Винера (причем еще до Винера) следующим образом: сначала он взял в каждом из интервалов [nτ,(n+1)τ] некую функцию X(t|τ) с постоянной производной, равной с одинаковой вероятностью либо +v, либо −v; далее он перешел к пределу этой функции (при v=const и τ→0) и объявил, что получил верную функцию X(t)! Жевре был шокирован этой ошибкой. Я согласился с ним и подтвердил ошибочность статьи в письме, которое он зачитал свои коллегам в Дижоне. Башелье должности не получил. Узнав о моем участии в этом деле, он затребовал объяснений, каковые я ему немедля предоставил, однако они не убедили его в ошибочности его рассуждений. Думаю, нет нужды вспоминать здесь об иных прямых последствиях этого инцидента.

Я благополучно забыл о нем и не вспоминал до 1931 г., когда при чтении фундаментальной работы Колмогорова наткнулся на слова «der Bacheliers Fall». Я просмотрел другие работы Башелье и обнаружил, что та прошлая ошибка, от которой он так и не отказался, не помешала ему получить выводы, которые были бы верны, если бы вместо v=const он записал v=const⋅τ^−½ , и что еще до Эйнштейна и Винера Башелье удалось разглядеть некоторые важные свойства так называемой функции Винера (или Винера – Леви), а именно: уравнение диффузии и распределение .

Мы помирились. Я написал ему о своем сожалении, что впечатление, произведенное одной ошибкой в начале статьи, отвратило меня от дальнейшего чтения работы, содержащей так много интересных мыслей. Он ответил длинным письмом, в котором выразил большой энтузиазм в отношении продолжения исследований».

То, что Леви довелось сыграть столь неприглядную роль, поистине трагично, поскольку его собственная карьера, как мы вскоре увидим, также едва не оказалась погублена из-за того, что его работы были недостаточно строги.

Перейдем теперь ко второй, более серьезной, причине карьерных проблем Башелье. Причина эта заключается в названии его диссертации, о котором я до сих пор не упомянул (намеренно, разумеется) и которое выглядит так: «Математическая теория спекуляций». Название это никоим образом не относится к спекуляциям философским (например, о природе случайности); скорее, здесь имеются в виду спекуляции в «стяжательском» смысле, т.е. получение доходов за счет падений и повышений цен на рынке консолидированных государственных облигаций (тех самых, которые французы называют «la rente»). Упомянутая Леви функция X(t) как раз и имеет своим значением цену этих облигаций в момент времени t.

Предвестником профессиональных трудностей, ожидавших Башелье в результате выбора такого названия, могло бы послужить деликатно замечание Анри Пуанкаре (который писал официальную рецензию на диссертацию) о том, что «тема работы несколько отлична от тех, над какими имеют обыкновение работать наши кандидаты». Кто-то может сказать, что Башелье не следовало отдавать свою диссертацию на рассмотрение математикам, вовсе к этому не расположенным (надо сказать, что французские профессора того времени понятия не имели о том, что тему диссертации можно назначать заранее), однако у Башелье просто не было выбора: предыдущую степень он получил за математическое исследование, а за преподавание математики отвечал именно Пуанкаре (хотя исследованиями в области теории вероятности он практически не занимался).

Трагедия Башелье в том, что он был человеком прошлого и будущего, но не настоящего. Человеком прошлого его можно назвать потому, что он работал с историческими корнями теории вероятности, которая, как известно, начиналась с исследования азартных игр. Стохастические процессы в непрерывном времени он решил ввести, опираясь на ту непрерывную азартную игру, которая называется «La Bourse». В то же время он был человеком будущего как в математике (свидетельством тому может служить приведенный выше отрывок из письма Леви), так и в экономике, где он известен как автор теоретико-вероятностного понятия «мартингал» (в котором должным образом отражены понятия честной игры и эффективного рынка, см. главу 37); кроме того, он намного опередил свое время в понимании многих частных аспектов неопределенности в применении к экономике. Самую большую славу принесла Башелье концепция, согласно которой цены следуют броуновскому процессу. К сожалению, ни одно из официальных научных сообществ того времени не оказалось в состоянии понять и принять его. Для распространения идей, столь несоответствующих времени, требуется талант политика, а таким талантом Башелье, по всей видимости, не обладал.