Фрактальная геометрия природы

Функции из прямой в плоскость. Возьмем две непрерывные функции X(t) и Y(t) с ЛГ – показателями λ₁ и λ₂. Эвристически рассуждая, можно предположить, что для покрытия графика векторной функции от координат X(t) и Y(t) на участке t∈[0,1] потребуется не больше r^λ1+λ2−3 кубов со стороной r; следовательно, 1≤D≤3−(λ₁+λ₂). Размерность обыкновенного броуновского следа из прямой в плоскость D=2 вполне согласуется с этим неравенством.

Проекции. Построим непрерывный след, проецируя функцию {X(t),Y(t)} на плоскость (x,y). При λ₁=λ₂=λ эвристика подсказывает, что для покрытия графика нам понадобится не более 1/r квадратов со стороной r^λ; следовательно, 1≤D≤min(2,1/λ). Рассмотрим аналогичным образом непрерывный след функции {X(t), Y(t), Z(t)}, координаты которой имеют одинаковые ЛГ – показатели λ. Эвристическое рассуждение дает 1≤D≤min(3,1/λ). При λ₁≠λ₂ непрерывный след функции {X(t),Y(t)} следует покрывать квадратами со стороной r^maxλ, значит:

1≤D≤2−max{0, (λ₁+λ₂−1)/ max(λ₁,λ₂)}.

Все эти выводы нашли подтверждение в [317].

XII О ЛЮДЯХ И ИДЕЯХ

40 БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ

В качестве вступления к этой главе, посвященной исключительно жизнеописаниям, отметим, что ученым, придерживающимся в широкой реке научной мысли главного течения, редко достается в награду (или в наказание?) жизнь, о которой интересно рассказывать. Возьмем, например, биографию Джона Уильяма Стретта, третьего барона Рэлея. Следующие одна за другой с завидным постоянством научные победы прославили его имя почти во всех областях науки. А жизнь его, между тем, протекала без каких-либо особых происшествий, умеренно и спокойно, посвященная исключительно его развитию как ученого. Единственное событие, способное сойти за происшествие, случилось, когда юный Уильям отказался при поступлении в кембриджский Тринити–Колледж от аристократических привилегий, полагавшихся ему, как старшему сыну лорда – землевладельца.

Был в науке и Великий Романтик – Эварист Галуа, история которого как нельзя лучше соответствует канонам высокой французской трагедии, поскольку сочетает в пределах одного дня написание работы, положившей начало развитию современной алгебры, и смерть на дуэли. И все же жизни большинства ученых подобны жизни Рэлея: их почти не затрагивают даже самые кардинальные перемены в окружающем мире (примером может служить биография А. С. Безиковича), и в конечном итоге их жизненные истории почти предсказуемы, если не считать случайных красочных подробностей, описывающих первые проявления их таланта или их вступление в большую науку. Трехлетний Карл Фридрих Гаусс исправляет ошибку в арифметических расчетах своего отца. Юный Шриниваса Рамануджан заново изобретает математику. Харлоу Шепли, обнаружив, что для поступления на факультет журналистики ему придется ждать целый семестр, решает выбрать себе другой факультет из алфавитного списка. Он пропускает археологию, так как не знает, что означает это слово, переходит к астрономии … и находит свою судьбу. Менее типична история Феликса Хаусдорфа. До 35 лет он посвящает бóльшую часть своего времени философии, поэзии, сочинению и постановке пьес и другим подобным занятиям. Затем он останавливается на математике и вскоре представляет научной общественности свой знаменитый шедевр – «Основы теории множеств» [202].

Биографиям, скроенным по единому образцу, несть числа; истории же, отобранные для этой главы, - особенные. В них все не так. Вступление в большую науку откладывается на неопределенный срок – во многих случаях оно происходит лишь посмертно. Герой всерьез задумывается о том, в свое ли время его угораздило родиться. Как правило, герой – индивидуалист – одиночка. Его можно назвать наивным или утопистом – так называют определенного рода художников, - однако, на мой взгляд, ему больше подходит просторечное «белая ворона». И в тот момент, когда опускается занавес, символизируя окончание пролога в пьесе его жизни, мы видим, что наш герой все еще – по прихоти ли судьбы, по собственному ли выбору – не выбрал себе цвета.

Работы «белых ворон» отличаются какой-то особенной свежестью. Даже те, кто в конечном итоге так и не достиг сколь-нибудь значительных результатов, демонстрируют ярко выраженный оригинальный стиль, что роднит их с более удачливыми собратьями, титанами научной мысли. Причина здесь, похоже, заключается в наличии достаточного количества свободного времени. Как однажды заметила дочь д' Арси Томпсона по поводу его книги «Рост и форма» [568]: «Можно только гадать, была ли вообще написана подобная книга, если бы ее автор не провел тридцать лет жизни в глуши». К моменту выхода книги д' Арси Томпсону было уже 57. Максимум научной активности многих других белых ворон также приходится на довольно преклонные годы. Расхожее клише о том, что наука – дело молодых, к данному случаю неприменимо.