Фрактальная геометрия природы

Приложение. Пусть x₁∈S₁ и x₂∈S₂, где S₁ и S₂ - фракталы в ℝ^E с размерностями D₁ и D₂. Через a₁ и a₂ обозначим некие неотрицательные вещественные числа и определим множество S как множество, составленное из точек вида x=a₁x₁+a₂x₂. Размерность D этого множества удовлетворяет неравенству:

max(D₁,D₂)≤D≤min(E,D₁+D₂).

Для доказательства находим прямое произведение ℝ^E на ℝ^E и проецируем.

В случае независимости множеств скорее всего подойдет и верхний предел размерности. При D=E=1 множество S является либо фракталом, либо множеством с интервалами.

8. СУБОРДИНАЦИЯ МНОЖЕСТВ (УМНОЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТЕЙ)

См. главу 32.

9. СУБРАЗМЕРНОСТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Если внутренняя функция множества S имеет вид h_S(ρ)=γ(D)ρ^D, свойства фрактала полностью описываются его размерностью D. Если же

h_S(ρ)=ρ^D[ln(1/ρ)]^Δ1[ln ln(1/ρ)]^Δ2,

то описание фрактальных свойств множества S оказывается более громоздким. Одной размерностью в этом случае не обойтись, требуется последовательность D, Δ₁, Δ₂. Величины Δ_m можно назвать субординатными размерностями или субразмерностями.

Субразмерности в состоянии пролить свет на вопрос, следует ли считать фракталами пограничные множества, описанные в разделе фракталы, 3. Возможно имеет смысл называть фракталами любое множество S, размерность D которого равна D_T, но хотя бы одна субразмерность Δ отлична от нуля.

ЭВРИСТИКА ЛИПШИЦА – ГЁЛЬДЕРА

Фрактальная размерность является по своему происхождению локальным свойством, несмотря на то, что в настоящем эссе локальные свойства оказывают влияние на свойства глобальные. Таким образом, имея дело с графиком во всех иных отношениях произвольной непрерывной функции X(t), следует соотносить размерность D с другими локальными свойствами. Одним из наиболее полезных локальных свойств является показатель Липшица – Гёльдера (ЛГ) α. Суть условия ЛГ при t+ состоит в том, что

X(t)−X(t₀)~|t−t₀|^αпри 0₀<ε;

аналогично оно выглядит и для случая t−. Глобальный ЛГ – показатель в интервале [t',t"] имеет вид . Если функция X(t) не является постоянной, λ≤1.

ЛГ – эвристика и размерностьD. Если известен показатель α, то количество квадратов со стороной r, необходимых для покрытия графика функции X между моментами времени t и t+r, приблизительно равно r^α−1. Таким образом, можно покрыть график функции X(t) на участке t∈[0,1] с помощью N квадратов и приблизительно оценить размерность функции как D=lnN/ln(1/r). Этот способ оценки D мы будем называть эвристикой Липшица – Гёльдера. Он устойчив и весьма эффективен.

Примеры. Если функция X дифференцируема для всех t между 0 и 1, а точки, в которых X'(t)=0, в расчет не принимаются, то на всем интересующем нас интервале α=1, и количество квадратов, необходимых для покрытия графика функции, равно N~r^α−1(1/r)=r⁻¹. Отсюда D=1, что, конечно же, верно.

Если X(t) - броуновская функция (обыкновенная или дробная), то можно показать, что α≡λ=H. Эвристическое значение N приблизительно равно r^H−1−1, т.е. D=2−H, что опять же согласуется с известной размерностью D.

Харди [194] показывает, что для функций, описанных в разделе функция Вейерштрасса … α≡H. Следовательно, можно предположить, что их размерность Хаусдорфа – Безиковича равна 2−H.

Совершенно иначе обстоит дело с канторовой лестницей (см. рис. 125). Областью определения функции X являются здесь только те значения t, которые принадлежат фрактальной пыли с фрактальной размерностью δ<1, а показатель α зависит от t . Разделим интервал [0,1] на 1/r временных промежутков длины r. В r^−δ этих промежутков α=δ, в других промежутках показатель α не определен, однако если повернуть координатные оси на небольшой угол, то α=1. Отсюда эвристически получаем для количества покрывающих квадратов значение r⁻¹+r^δ−1r^−δ=2r⁻¹, а для размерности D=1. Это в самом деле так, что и отмечено в пояснении к рис. 125.

Кроме того, для суммы броуновской функции и канторовой лестницы с δ получаем D=2−H и λ=δ, следовательно, 1.

Резюме. Подтверждение эвристически полученного неравенства 1≤D≤2−λ можно найти в работах [317] и [30]. См. также [255], с. 27.

Об определении «фрактала». В разделе фракталы упоминается о желательности расширения рамок определения термина фрактал с тем, чтобы они включали и канторову лестницу. Может быть, нам следует сказать так: кривая фрактальна, если показатель λ<1, а показатель α близок к λ при «достаточно многих» значениях t? Мне бы не хотелось следовать этим путем, так как подобные расширения довольно громоздки и, кроме того, в них проводится принципиальное различие между случаями D_T=0 и D_T>0.