Фрактальная геометрия природы

В качестве удобных источников общих сведений по теме рекомендую [231], [35], [497], [3].

1. МЕРА КАРАТЕОДОРИ

Кантору приходила в голову мысль о том, что «при исследовании размерностей непрерывных множеств невозможно обойтись без общего понятия объема или величины», однако он, по всей видимости, не уделил ей должного внимания. Лебег полагает, что, имей Кантор полное представление о сложности стоящей перед ним задачи, ему вряд ли удалось бы достичь сколько-нибудь значительных результатов. Эта мысль получила дальнейшее развитие в работе Каратеодори [67] и была впоследствии воплощена Хаусдорфом [203].

Классическая процедура оценки площади плоской фигуры начинается с аппроксимации множества S с помощью набора очень маленьких квадратов; далее сторона каждого квадрата возводится в степень D=2 и полученные результаты складываются. Каратеодори [67] расширяет рамки этого традиционного подхода. Заменив квадраты дисками, он избегает зависимости от координатных осей; кроме того, с самого начала предполагается, что мы не знаем, является ли множество S стандартной евклидовой фигурой известной размерности, вложенной в известное пространство R^E.

Заметим теперь, что если плоскую фигуру, вложенную в трехмерное пространство, можно покрыть дисками, то ее a fortiori можно покрыть шарами, экваторами которых являются эти диски. Следовательно, если мы не хотим заранее считать множество S плоским, нам достаточно покрыть его вместо дисков шарами. Если же S и в самом деле является поверхностью, ее приближенную меру можно получить простым сопоставлением каждому шару выражения вида πρ² и последующим сложением этих выражений. В более общем виде, для получения меры какой-либо d- мерной фигуры следует складывать выражения вида h(ρ)=γ(d)ρ^d; входящая сюда функция γ(d)=[Γ(1/2)]^d/Γ(1+d/2) была определена ранее в этой главе как протяженность шара единичного радиуса. На этом основании Каратеодори [67] распространяет понятия «длины» и «площади» и на нестандартные фигуры.

2. ХАУСДОРФОВА МЕРА

Хаусдорф [203] расширяет определение Каратеодори, допуская возможность дробного значения d (функция γ(d) записывается таким образом, что она при этом продолжает иметь смысл). Таким образом, мы больше не ограниченны степенями ρ, а вольны использовать любую положительную пробную функцию h(ρ), которая стремится к нулю вместе с ρ.

Более того, поскольку шар представляет собой всего лишь множество точек, расстояние до которых от центра w не превышает заданного радиуса ρ, шар продолжает оставаться определенным даже в случае неевклидова пространства Ω - при условии, что в этом пространстве определено расстояние. Как мы уже отмечали, такие пространства называются метрическими, следовательно, и хаусдорфова мера представляет собой метрическое понятие.

Если задана некоторая пробная (или «калибровочная») функция h(ρ), то можно сказать, что мера конечного покрытия множества S шарами радиуса ρ_m равна ∑h(ρ_m). Для получения наиболее экономичного покрытия мы рассматриваем все покрытия шарами, радиус которых меньше ρ, и образуем инфимум

.

При ρ→0 ограничение ρ_m<ρ становится чрезвычайно жестким. То есть выражение inf∑h(ρ_m) может только возрастать; у него есть предел, который имеет вид

.

Этот предел может быть конечным положительным, отрицательным или нулевым. Он определяет h - меру множества S.

Если h(ρ)=γ(d)ρ^d, то h - мера называется d - мерной. Точнее говоря, из-за префактора γ(d) h - мера является нормированной d - мерной мерой.

Если h(ρ)=1/ln|ρ|, то h - мера называется логарифмической.

3. ВНУТРЕННЯЯ ПРОБНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА

Функцию h(ρ) можно назвать внутренней для множества S и обозначить как h_S(ρ), если h_S - мера S положительна и конечна. Эту меру можно назвать фрактальной мерой множества S.

Для стандартных фигур евклидовой геометрии внутренняя пробная функция всегда имеет вид h_S(ρ)=γ(D)ρ^D, где D - некоторое целое число. Хаусдорф показал, что внутренней для канторовых пылей и кривых Коха является функция h_S(ρ)=γ(D)ρ^D с нецелочисленным значением D.

Типичные случайные фракталы, пусть даже и статистически самоподобные, также обладают внутренней функцией h_S(ρ), однако она имеет более сложный вид – например, h_S(ρ)=ρ^Dln|ρ|. В этом случае h - мера множества S относительно функции h(ρ)=γ(D)ρ^D обращается в нуль, т.е. фигура содержит меньше «вещества», чем если бы она была D - мерной, но больше, чем если бы она была D - ε-мерной. В качестве примера можно привести траекторию броуновского движения на плоскости, внутренняя функция для которого, согласно Леви, имеет вид h(ρ)=ρ²ln ln(1/ρ). См. [560].

Поскольку двумерная мера любого ограниченного множества на плоскости конечна, пробные функции вида ρ²/ln(1/ρ) не могут быть внутренними ни для какого плоского множества.