Фрактальная геометрия природы

Вышеприведенное математическое определение является строгим, но не окончательным. Желая уточнить его, мы могли бы предложить несколько, на первый взгляд, вполне естественных поправок, однако здесь следует соблюдать известную осторожность.

Давным-давно, в поисках подходящей меры для свойств, которые впоследствии назовут фрактальными, я решил остановиться на размерности Хаусдорфа – Безиковича D, так как она была изучена основательнее остальных. Мне, однако, до сих пор не дает покоя то обстоятельство, что авторы трактатов, подобных [141], считают своим долгом вводить все новые и новые бесчисленные варианты мер, отличающихся от D весьма незначительными деталями. Как бы то ни было, рассмотрение этих деталей можно пока отложить.

Кроме того, при наличии нескольких возможных вариантов размерностей необходимо избегать тех, что связаны с явно внешними характеристиками. Наиболее же существенно то, что в понятии размерности D совершенно отсутствует арифметический аспект, чего нельзя сказать ни о размерности Фурье D_F (с. 511), ни о показателе Безиковича – Тейлора (с. 510, см. также [251], с. 89).

3. ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ СЛУЧАИ ХАУСДОРФА

Промежуточные случаи всегда очень проблематичны. Несправляемую кривую с размерностью D=1 можно a priori назвать как фрактальной, так и нефрактальной; то же верно и в случае любого множества, для которого D=D_T, а хаусдорфова мера, полученная с помощью пробной функции h(ρ)=γ(D)ρ^D, бесконечна (не может обратиться в нуль). Приведу еще более раздражающий пример: канторова чертова лестница (см. рис. 125) на интуитивном уровне воспринимается как фрактал, поскольку она самым очевидным образом демонстрирует различные масштабы длины. Меня решительно не устраивает, что ее нельзя считать фракталом, пусть даже D=1=D_T (см. с. 541). За неимением иных критериев, я провожу границу, руководствуясь соображениями краткости определения. Если (и когда) будет предложен другой достойный критерий, определение нужно будет соответствующим образом изменить. См. также раздел хаусдорфова мера …, 8.

4. ВАРИАНТ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Понятие емкостной размерности или размерности Фростмана (см. потенциалы и емкости, 4) удовлетворяет критерию, установленному в подразделе 2 данного раздела, просто потому, что ее значение совпадает со значением D. Следовательно, можно сформулировать альтернативное определение фрактала как множества, емкостная размерность которого больше его топологической размерности.

5. ФРАКТАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА, ВНУТРЕННИЕ И ЛОКАЛЬНЫЕ

Некоторое количество сырого материала на эту тему можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.

ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ. УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ И ИНФРАКРАСНАЯ КАТАСТРОФЫ

Комплексная функция Вейерштрасса имеет вид

,

где b>1 - некоторое вещественное число, а w записывается либо как w=b^−H(0, либо как w=b^D−2(1. Вещественная и мнимая части функции W₀(t) называются, соответственно, косинусоидой и синусоидой Вейерштрасса.<2)<><1)<>

Функция W₀(t) непрерывна, но нигде не дифференцируема. Однако ее формальное обобщение на случай D<1 и непрерывно, и дифференцируемо.

Кроме самой функции W₀(t) в настоящем разделе рассматриваются некоторые ее варианты; необходимость в их представлении обусловлена тем новым смыслом, который придала функции Вейерштрасса теория фракталов.

Частотный спектр функцииW₀(t). Термин «спектр», на мой взгляд, перегружен значениями. Под частотным спектром понимается множество допустимых значений частоты f безотносительно к амплитудам соответствующих составляющих.

Частотный спектр периодической функции представляет собой последовательность положительных целых чисел. Частотный спектр броуновской функции – это ℝ⁺. Частотный же спектр функции Вейерштрасса есть дискретная последовательность bⁿ от n=1 до n=∞.

Энергетический спектр функцииW₀(t). Под энергетическим спектром понимается множество допустимых значений частоты fвместе со значениями энергии (квадратами амплитуд) соответствующих составляющих. На каждое значение частоты вида f=bⁿ в функции W₀(t) имеется спектральная линия энергии вида (1−w²)⁻¹w²ⁿ. Следовательно, суммарное значение энергии на частотах f≥bⁿ сходится и пропорционально w²ⁿ=b^−2nH=f^−2H.