Фрактальная геометрия природы

При решении задачи Хольтсмарка (в том виде, в каком ее обычно формулируют) подобная трудность нам не грозит, так как здесь мы имеем дело не с самими математическими ожиданиями, а с разностями между действительными и ожидаемыми величинами притяжения. Для начала рассмотрим звезды, заключенные внутри области, ограниченной вышеописанным конусом угловой величины dΩ и сферами радиусов r и r+dr. Каждая звезда притягивает с силой u=r⁻², а их количество представляет собой пуассонову случайную величину с ожиданием δ|dΩ|d(r³)=δ|dΩ|d(u^−3/2). Следовательно, для разности между действительным притяжением и его математическим ожиданием имеем характеристическую функцию

.

Как выясняется, эта разность соответствует устойчивой по Леви случайной величине с показателем D=3/2 и β=1 . Из подраздела 6 (см. выше) нам известно, что большое положительное значение u обусловлено, скорее всего, присутствием одной – единственной звезды вблизи точки O и не зависит от плотности звезд в других местах; распределение случайной величины U при очень больших u ведет себя как распределение величины притяжения ближайшей звезды.

Таким образом, общее избыточное притяжение представляет собой изотропный устойчивый по Леви вектор с D=3/2.

Смысл устойчивости можно объяснить так: допустим, звезда O испытывает притяжение со стороны двух равномерно распределенных звездных облаков, состоящих, скажем, из красных и голубых звезд; тогда величины силы притяжения только красных звезд, только голубых звезд и всех звезд вместе различаются лишь масштабным коэффициентом, а не аналитической формой их распределения.

10. УСТОЙЧИВЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ

Построение броуновской функции из пространства в прямую, предложенное Ченцовым [79], обобщено мною для устойчивого случая в [379].

11. РАЗМЕРНОСТИ

Самые ранние вычисления размерности устойчивого процесса для негауссова случая можно найти в работах [420] и [39, 41]. Полная библиография приведена у Прюитта и Тейлора [484].

12. МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ВЗВЕШЕННОМ СЛОЖЕНИИ

В разделе нелакунарные фракталы (подраздел 4) описывается представленное в статьях [376, 378] семейство обобщений устойчивых по Леви случайных величин. Эти обобщения основываются на обобщении условия устойчивости по Леви (L), заключающемся в замене весов s_iμ случайными величинами.

ФРАКТАЛЫ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ)

Хотя в главе 3 мы и определили термин фрактал, я все же продолжаю считать, что наша тема представляет собой как раз такой случай, когда лучше всего обойтись совсем без определения (в эссе 1975 г., кстати, никакого определения не было).

Самый простой довод в пользу такого нежелания состоит в том, что настоящее определение, как мы вскоре увидим, исключает из семейства фракталов кое-какие множества, которые нам не хотелось бы терять.

Имеется и иное фундаментальное соображение: мое определение включает размерности D и D_T, однако понятие фрактальной структуры является, по всей видимости, более базовым, чем D или D_T. По сути, понятия размерностей получили неожиданное новое применение и, как следствие, бóльшую значимость!

Иными словами, должна существовать возможность определить фрактальную структуру как инвариантную под воздействием некоторой соответствующей определенным требованиям совокупности гладких преобразований. Задача эта, однако, едва ли окажется простой. Для того чтобы оценить ее сложность в стандартном контексте, вспомним хотя бы о том, что под некоторые определения комплексного числа попадают и вещественные числа! На данном этапе основной для нас является необходимость провести границу между простыми фрактальными множествами и стандартными множествами евклидовой геометрии. Этой необходимости мое определение отвечает.

Мое очевидное отсутствие энтузиазма в отношении определения фракталов было, несомненно, отмечено (и, надеюсь, правильно понято) многими выдающимися математиками, не обнаружившими такого в эссе 1975 г. Тем не мене, мы вполне можем предпринять кое-какие шаги для уточнения существующего определения.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Впервые фрактальное множество было определено в предисловии к эссе 1975 г. как множество в метрическом пространстве, для которого верно следующее неравенство:

D>D_T,

где D - размерность Хаусдорфа – Безиковича, а D_T - топологическая размерность.

Фракталы, описанные в этой книге, представляет собой, за одним исключением, множества в евклидовом пространстве размерности E<∞. Их можно назвать евклидовыми фракталами. Исключение представлено в главе 28: броуновскую береговую линию на сфере можно рассматривать как риманов фрактал.

2. КРИТИКА. РАЗМЕРНОСТИ ЧАСТИЧНО АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЧИСТО ФРАКТАЛЬНЫЕ