Фрактальная геометрия природы

Поскольку практически настроенные ученые не склонны подвергать сомнению соотношение 2><∞, широко распространено мнение о том, что гауссово распределение является единственным устойчивым распределением. Это определенно не соответствует истине, о чем нам первым поведал Коши еще в 1853 г. (см. [71], с. 206). Коши приводит в пример некую случайную величину (впервые рассмотренную Пуассоном и называемую теперь «приведенной переменной Коши»), которая удовлетворяет следующему равенству

Pr(X>−x)=Pr(X−1tg⁻¹x;

отсюда

плотность Коши=1/[π(1+x²)].

Коши показал, что эта случайная величина является решением системы уравнений, составленной из (L) и альтернативного вспомогательного соотношения

(A:1)s₁+s₂=s.

Для случайной величины Коши 2>=∞ или, точнее, =∞. То есть для выражения такой очевидной вещи, как равенство масштаба произведения случайной величины X на некоторое неслучайное число s произведению s на масштаб X, нам потребуется для измерения масштаба величина, отличная от среднеквадратического значения. Одним из кандидатов на эту роль является расстояние между квартилями Q и Q', где Pr(XQ)=¼.

Чаще всего случайная величина Коши используется в качестве контрпримера, как это сделано, например, в [33], с. 321 – 323. См. также [212].

Геометрическая порождающая модель. Вышеприведенную формулу Pr(X−1tg⁻¹x можно реализовать геометрически, разместив точку W с равномерным распределением вероятностей на окружности u²+v²=1 и определив X как абсциссу точки, в которой прямая, проходящая через начало координат O и точку W, пересекает прямую v=1 . Случайная величина Y, определяемая в этом же построении как ордината точки, в которой прямая, проходящая через O и W, пересекает прямую u=1, имеет то же распределение, что и X. Поскольку Y=1/X, получается, что величина, обратная случайной величине Коши, также является случайной величиной Коши.

Более того: всякий раз, когда вектор OW=(X,Y) является изотропно распределенным случайным вектором в плоскости, величина Y/X является случайной величиной Коши. В частности, отношение двух независимых гауссовых случайных величин есть случайная величина Коши.

3. ВОЗВРАЩЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

Составим систему из уравнения (L) и вспомогательного соотношения

(A:0,5)s₁^0,5+s₂^0,5=s^0,5.

Решением этой системы будет случайная величина, плотность которой при x<0 равна нулю, а в остальных случаях имеет вид

p(x)=(2π)^−1/2exp(−1/2x)x^−3/2.

Величина p(x)dx представляет собой вероятность того, что броуновская функция, удовлетворяющая равенству B(0)=0, удовлетворяет также равенству B(t)=0 при некотором значении t из интервала [x,x+dx].

4. ОБОБЩЕННЫЕ УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Коши рассмотрел обобщенное вспомогательное соотношение

(A:D)s₁^D+s₂^D=s^D.

Симметричные решения. Основываясь на формальных расчетах, Коши утверждает, что система уравнений (L) и (A:D) имеет при любом значении D единственное решение: случайную величину, плотность которой имеет вид

π⁻²₀∫^∞exp(u^−D)cos uxdu.

Пойа и Леви показывают, что при 0 предположение Коши и в самом деле подтверждается, а гауссово распределение и распределение Коши являются частными случаями этого правила. Однако при D>2 это предположение оказывается несостоятельным, поскольку в этом случае вышеприведенная формальная плотность принимает отрицательные значения, что есть абсурд.

Крайние несимметричные решения. Леви, кроме того, показывает, что система уравнений (L) и (A:D) допускает и несимеетричные решения. В случае наиболее экстремально асимметричных решений порождающая функция (преобразование Лапласа) определена и равна exp(g^D).

Другие несимметричные решения. Общим решением системы уравнений (L) и (A:D) является взвешенная разность двух независимых одинаково распределенных решений с крайней асимметрией. Веса принято обозначать через ½(1+β) и ½(1−β).

Окончательное обобщение уравнения(L). При неизменном (A:D) заменим условие (L) условием

(L^*)s₁X₁+s₂X₂=sX+const.

При D≠1 такая замена ничего не меняет, однако при D=1 система допускает дополнительные решения, которые называются асимметричными случайными величинами Коши.