Фрактальная геометрия природы

Заключение. Вокруг границы между математически стационарными и нестационарными процессами не прекращаются бурные семантические диспуты. На практике же граница оккупирована процессами, которые хотя и не отвечают нашим интуитивным представлениям о стационарных процессах, все же способны выступать в роли объектов научного исследования. Эти процессы весьма пригодились и мне – как в настоящем эссе, так и в остальной исследовательской работе.

Лексические проблемы. И снова возникает необходимость в новых терминах. Возьму на себя смелость порекомендовать термин установившийся в качестве а) синонима того, что математики называют «стационарный и такой, что сумма X^*(t) сходится к B(t)», и б) термина для обозначения того интуитивного понятия, которое исследователи-практики склонны именовать «стационарностью». Обратное понятие можно обозначить терминами неустановившийся или блуждающий.

В одной из своих ранних работ (а именно: в [373]) я предложил называть установившиеся процессы лапласовыми и мягкими. Последнее слово употреблено в значении «безопасный, легко контролируемый»; это значение показалось мне вполне подходящим, поскольку, имея дело с таким случайным процессом, можно не опасаться каких-либо сюрпризов с его стороны – не стоит ждать от него тех резких отклонений и разнообразных конфигураций, благодаря которым анализ блуждающих случайных процессов представляет собой более сложное, но и гораздо более интересное занятие.

УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ

Среди достоинств гиперболического распределения отметим непревзойденную формальную простоту и инвариантность при усечении (см. раздел масштабная инвариантность при усечении). Другие преобразования, оставляющие его инвариантным, нас сейчас не интересуют. Гораздо большее значение для нас имеют сейчас распределения, инвариантные при сложении. Гиперболическими они являются лишь асимптотически, а Поль Леви выбрал для них в свое время в качестве названия донельзя перегруженный термин: «устойчивые распределения». Он же ввел и понятие устойчивого процесса, в котором участвуют как гиперболическое, так и устойчивое распределения.

До публикации моих работ устойчивые случайные величины считались явлениями «патологическими» и даже «чудовищными»; единственное исключение составлял случайный вектор Хольтсмарка, о котором мы поговорим в подразделе 9. Я предложил некоторые области приложения устойчивых случайных величин, важнейшие из которых описаны в главах 31, 32 и 37; Кроме того, ниже (подраздел 4) упоминается о возможности применения таких величин в генетике.

Литература. Существует огромное количество различных источников, но ни один из них нельзя счесть удовлетворительным. В монографии Феллера ([148], том II) материал по устойчивости представлен, пожалуй, в самом полном объеме, однако он разбросан по всей книге, и порой очень трудно отыскать необходимые сведения. Книга Ламперти [284] может послужить неплохим введением в курс дела. Рекомендую также и работу Гнеденко и Колмогорова [172], несмотря на ее почтенный возраст. Много полезных подробностей можно найти у Лукача [320]. Оригинальные трактаты Леви [302, 304] вряд ли придутся по вкусу всем, поскольку эти великие научные труды являют собой яркие образцы авторского стиля (см. главу 40).

1. ГАУССОВЫ С.В. МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫ ПРИ СЛОЖЕНИИ

Известно, что гауссово распределение обладает следующим свойством: возьмем две независимые гауссовы случайные величины G₁ и G₂ и запишем

1>=2>=0; 1²>=σ₁²; 2²>=σ₂²;

тогда их сумма удовлетворяет равенству

1+G₂>=0; <(G₁+G₂)²>=σ₁²+σ₂².

Что более важно, величина G₁+G₂ сама является гауссовой случайной величиной. Таким образом, гауссово свойство инвариантно при сложении независимых случайных величин. Иными словами, гауссову случайную величину можно рассматривать как возможное решение системы уравнений, состоящей из функционального уравнения.

(L)(s₁X₁+s₂X₂)=sX

и вспомогательные соотношения

(A:2)s₁²+s₂²=s².

В действительности же, только гауссово распределение удовлетворяет как уравнению (L), так и соотношению (A:2) (без учета масштаба).

Более того, если в качестве вспомогательного соотношения выступает 2><∞, то гауссова случайная величина опять оказывается единственным решением.

Функциональное уравнение (L), для обозначения которого Леви использует термин устойчивость, подвергнуто весьма глубокому исследованию в его работе [302]. Во избежание возможной двусмысленности я использую в соответствующих случаях несколько громоздкую конструкцию устойчивость по Леви.

2. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА КОШИ