Фрактальная геометрия природы

Бактерии – мутанты. В статье [377] я показал, что общее количество мутировавших бактерий в старой культуре (задача Луриа – Дельбрюка) представляет собой устойчивую по Леви случайную величину с крайней асимметрией.

5. ФОРМА УСТОЙЧИВЫХ ПО ЛЕВИ ПЛОТНОСТЕЙ

Если не считать трех исключений (D=2 с β=0, D=1 с β=0 и D=1/2 с β=1), нам не известны устойчивые по Леви распределения в замкнутой аналитической форме, однако свойства этих простых исключений можно обобщить и на другие случаи.

Во всех крайних асимметричных случаях с 0 плотность при x<0 обращается в нуль.<1<>

В результате обобщения того факта, что гауссова плотность равна exp(−1/2x²), мы имеем небольшой хвост крайних асимметричных случаев с 1. Плотность здесь ∝exp(−c|x|^D/(D−1)).<2<>

При x→∞ плотность Коши ∝π⁻¹x^−D−1, а плотность возвращений броуновской функции ∝(2π)^−½x^−D−1. В общем виде, при любом D≠2 плотность в длинном хвосте (или хвостах) ∝x^−D−1.

В иных случаях поведение плотности ρ(u) приходится находить численно. В [335] приведены графики для крайнего асимметричного случая, в [336] к ним добавлены примечания относительно очень близких к 2 значений D, а в [341] – графики для симметричного случая. Методы быстрого преобразования Фурье значительно облегчают эту задачу, см. [120, 121].

6. НЕРАВЕНСТВО СЛАГАЕМЫХ И ПРОИСТЕКАЮЩАЯ ИЗ НЕГО КЛАСТЕРИЗАЦИЯ

Пусть X₁ и X₂ независимые случайные величины с одинаковой плотностью вероятности p(u). Плотность вероятности величины X=X₁+X₂ имеет вид

p₂(u)=_−∞∫^∞p(y)p(u−y)dy.

Если известно значение суммы u, то плотность условного распределения каждого из слагаемых y равна p(y)p(u−y)/p₂(y). Рассмотрим подробно форму этой плотности

Примеры. Когда плотность p(u) является гауссовой плотностью с единичной дисперсией, т.е. унимодальной функцией (или функцией с одним максимумом), условное распределение также является гауссовым с центром в точке ½u, а его дисперсия равна ½, т.е. не зависит от u (см. раздел броуновские фрактальные множества, 3). При u→∞ относительные значения слагаемых почти равны.

Когда плотность p(u) представляет собой приведенную плотность Коши, т.е. снова унимодальную функцию, следует различать два очень непохожих случая. При |u|≤2, что составляет половину всех значений u, условное распределение также унимодально, а наиболее вероятным значением снова является ½u. В противоположном случае (при |u|>2) значение ½u становится наименее вероятным (локально). При |u|=2 условное распределение разветвляется на две отдельные «огивы», центры которых расположены в окрестности точек y=0 и y=u. По мере того, как u→±∞, становится все труднее отличить эти огивы от огив Коши с центрами в точках 0 и u.

Когда плотность p(u) представляет собой плотность возвращений броуновской функции, ситуация напоминает случай Коши, только еще более крайний, причем плотность условного распределения является бимодальной с вероятностью >½.

Вывод: рассмотрим три последовательных возвращения в нуль некоторого случайного блуждания: T_k−1, T_k и T_k+1. Если значение разности T_k−1−T_k+1 велико, то точка среднего возвращения с наибольшей вероятностью располагается чрезвычайно близко либо к точке T_k−1, либо к T_k+1, вероятность же того, что она окажется где-нибудь посередине между крайними возвращениями, можно полагать наименьшей. Этот результат сродни одному знаменитому «противоестественному» правилу из теории вероятности: закону арксинуса Леви.

Рассмотрим теперь условное распределение величины U, если известно, что сумма M величин U_g принимает очень большое значение u . В случае гауссова распределения результат, скорее всего, окажется таким: каждое слагаемое U_g будет приблизительно равно u/M. В случае же Коши (равно как и в случае броуновских возвращений) следует ожидать прямо противоположного результата: все слагаемые, кроме одного, будут очень малы.

Несоответствие, заключенное в идее «одинаковых» вкладов в сумму. Из того, что слагаемые a priori одинаковы (т.е. имеют одинаковое распределение), следует, что их значения могут a posteriori оказаться либо почти равными (как в случае гауссова распределения), либо в различной степени неравными (как в случае устойчивого по Леви распределения при очень большом значении суммы).

7. НЕСТАНДАРТНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РЕДЕЛЫ. РОЛЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Дана бесконечная последовательность X_n, составленная из независимых и одинаково распределенных случайных величин. Центральная предельная задача формулируется следующим образом: возможно ли выбрать такие веса a_n и b_n, чтобы сумма имела нетривиальный предел при N→∞?