Фрактальная геометрия природы

В стандартном случае n²><∞ ответ на этот вопрос будет стандартен и утвердителен: a_N=1/√N, b_N~n>√N, а предел является гауссовым.

Нестандартный случай n²>=∞ намного сложнее: а) выбор a_N и b_N не всегда возможен; б) когда выбор возможен, предел оказывается устойчивым негауссовым; в) для того, чтобы показатель предела был равен D, достаточно, чтобы последовательность X_n имела асимптотически гиперболическое распределение с показателем D (см. главу 38); г) необходимое и достаточное условие приводится в источниках, перечисленных в начале этого раздела.

8. УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ ФУНКЦИИ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Эти функции представляет собой случайные функции со стационарными независимыми приращениями, причем величина приращений X(t)−X(0) является устойчивой по Леви случайной величиной. Масштабный коэффициент a(t), благодаря которому величина [X(t)−X(0)]a(t) остается независимой от t, должен иметь вид a(t)=t^−1/D.

Этот процесс является обобщением обыкновенного броуновского движения на случай D≠2.

Наиболее поразительное свойство функции X(t) заключается в том, что она разрывна и содержит скачки.

СлучайD<1. В этом случае X(t) не содержит ничего, кроме скачков, причем количество скачков, происходящих за интервал от t до t+Δt и имеющих абсолютное значение, превышающее u, представляет собой распределенную по закону Пуассона случайную величину с математическим ожиданием |Δt|u^−D.

Относительные количества положительных и отрицательных скачков равны, соответственно, ½(1+β) и ½(1−β). Крайний асимметричный случай β=1 допускает только положительные скачки; такая функция называется устойчивым субординатором и служит для определения лестниц Леви, изображенных на рис. 399 и 400.

Парадокс. Поскольку u^−D→∞ при u→0, общее ожидаемое количество скачков бесконечно, какой бы малой ни была величина Δt. То обстоятельство, что связанная с этим ожиданием вероятность также окажется бесконечной, представляется парадоксальным. Однако парадоксальность исчезает, как только мы обращаем внимание на то, что общее количество скачков, для которых u<1, составляет конечную величину. Этот вывод выглядит вполне естественным, если отметить, что ожидаемая длина малого скачка конечна и пропорциональна

₀∫¹Du^−D−1udu=D₀∫¹u^−Ddu<∞.

Случай1. В этом случае вышеприведенный интеграл расходится, т.е. общий вклад малых скачков составляет бесконечную величину. Вследствие этого функция X(t) содержит два члена, непрерывный и скачковый; каждый из членов бесконечен, однако сумма их конечна.

9. УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ ВЕКТОРЫ И ФУНКЦИИ

Заменим случайную величину X в функциональном уравнении (L), участвующем в определении устойчивости, случайным вектором X. Если задан некоторый единичный вектор V, то очевидно, что система уравнений (L) и (A:D) имеет элементарное решение – произведение вектора V на скалярную устойчивую случайную величину.

Леви [304] показывает, что общее решение есть просто сумма всех элементарных решений, каждое из которых соответствует своему направлению в пространстве и взвешено в соответствии с некоторым распределением по поверхности единичной сферы. Вклады этих решений могут быть дискретными (конечными или счетно бесконечными), либо бесконечно малыми. Для того, чтобы вектор X был изотропным, элементарные вклады должны быть распределены равномерно по всем направлениям.

Устойчивые по Леви векторные функции от времени. Подобно устойчивым скалярным функциям, векторные функции допускают разложение в сумму скачков, следующих гиперболическому распределению. Размеры и направления скачков определяются распределением по поверхности сферы.

Распределение Хольтсмарка. Спектроскопические исследования Хольтсмарка [220] пережили свое время благодаря тому, что их результаты оказалось возможным переформулировать в терминах ньютоновского притяжения (см. [76]); до появления моих работ только в этих исследованиях фигурировал конкретный пример устойчивого по Леви распределения. Предположим, что в точке O имеется некая звезда, а в пространстве распределено (независимо друг от друга и с ожидаемой плотностью δ) еще некоторое количество звезд единичной массы. Какова общая сила притяжения, испытываемая звездой O со стороны этих звезд? Вскоре после того, как Ньютон открыл свой знаменитый обратно - квадратичный закон притяжения, преподобный Бентли написал ему письмо, в котором указал на то, что притяжение звезд, заключенных внутри узкого конуса dΩ' с вершиной в точке O, имеет бесконечное математическое ожидание; то же можно сказать и о притяжении звезд, заключенных внутри узкого конуса dΩ'', симметричного конусу dΩ' относительно точки O. Бентли заключил, что разница между этими бесконечностями не определена.