Фрактальная геометрия природы

Уточнение границы с помощью масштабно-инвариантных шумов. Гауссовы масштабно-инвариантные шумы (см. главу 27) могут послужить весьма удобным средством для уточнения спорной границы, поскольку их спектральная плотность имеет вид f^−B, где B≥0. Для белого шума B=0, для броуновского движения B=2, граница же между стационарными и нестационарными процессами попадает на различные значения B в зависимости от того, какими соображениями руководствуются «землемеры».

Математики, желая избежать «инфракрасной катастрофы», помещают границу при значении B=1, так как условие ₀∫¹f^−Bdf<∞ эквивалентно B<1.

Однако поведение выборки масштабно-инвариантного шума при B=1 изменяется весьма плавно. В сущности, гораздо более заметные изменения происходят при переходе от B=0 к B>0 - настолько, надо сказать, заметные, что исследователи-практики склонны считать нестационарной любую выборку с B>0. Стремясь быть последовательными, они также заявляют, что для представления данных, которые выглядят, как выборка с B>0, необходима исключительно нестационарная модель.

Я, в свою очередь, обнаружил, что вследствие исключения из рассмотрения значений B>1 определение стационарности оказывается недостаточно общим для многих прецедентных исследований.

Условно стационарные спорадические процессы. Например, теория фрактальных шумов (см. главу 9) позволяет предположить, что процесс, состоящий из броуновских нулей стационарен в ослабленной форме. В самом деле, предположим, что где-то в промежутке между t=0 и t=T имеется хотя бы один нуль. Результатом такого предположения будет случайный процесс, зависящий от T как от дополнительного внешнего параметра. Я отмечал, что совместное распределение значений X(τ+t_m) не зависит от t при условии, что все моменты времени τ+t_m находятся между 0 и T. Таким образом, нестационарный процесс броуновских нулей неявно включает в себя целый класс случайных процессов, каждый из которых условно стационарен, чего часто бывает вполне достаточно.

Процессы этого класса так тесно взаимосвязаны, что в [352] я даже предложил рассматривать их как один обобщенный стохастический процесс, называемый спорадическим процессом. Отличие такого процесса от стандартного случайного процесса заключается в том, что мера μ(Ω) всего выборочного пространства Ω бесконечна. То есть эту меру никак нельзя нормализовать к виду μ(Ω)=1. О бесконечной мере μ(Ω) для случайных переменных писал еще Реньи [489]. Для того чтобы мера μ(Ω)=∞ не привела к катастрофе, в теории обобщенных случайных величин делается допущение о том, что эти величины наблюдаются только будучи обусловленными некоторым событием C, таким, что 0<μ(C)<∞.

Хотя применимость случайных переменных Реньи очень ограниченна, спорадические функции оказываются иногда весьма полезными: в частности, с их помощью мне в [352] удалось избежать в нескольких случаях инфракрасной катастрофы, объяснив тем самым существование некоторых масштабно-инвариантных шумов с B∈[1,2].

Эргодичность. Перемешивание. Различным интерпретациям подвергается также и понятие эргодичности. В математической литературе понятие эргодичности включает в себя различные формы перемешивания. Существуют процессы с сильным перемешиванием и процессы со слабым перемешиванием. Различие между этими формами (если судить о нем по математическим трудам) может показаться весьма незначительным и далеким от реальных природных феноменов. Не позволяйте ввести себя в заблуждение – это не так. Например, масштабно-инвариантные шумы с 0 представляют собой процессы со слабым перемешиванием и ни в коем случае не с сильным.

Четвертое недоразумение (относительно возможности предельной сходимости кB(t)). Широко распространено мнение, согласно которому высказывание «процесс X(t) стационарен» равносильно утверждению о том, что его текущую сумму можно нормализовать таким образом, чтобы она сходилась к броуновскому движению. Математикам давно известно, что это мнение лишено каких бы то ни было оснований (см. [177]), а во многих из прецедентных исследований настоящего эссе участвуют функции X(t), которые ему прямо противоречат благодаря либо эффекту Ноя (2(t)>=∞), либо эффекту Иосифа (бесконечная зависимость, как в f^−B - шумах с B>0). Следует сказать, однако, что почти все мои прецедентные исследования были на некотором этапе a priori раскритикованы неким «экспертом», который утверждал, что исследуемые феномены явно нестационарны, и, следовательно, мои стационарные модели изначально обречены на неудачу. Рассуждение ошибочное, но психологически очень значимое.