Фрактальная геометрия природы

До недавних пор в прикладной статистике принимались как само собой разумеющиеся два следующих допущения в отношении временных рядов: предполагалось, что 2><∞ и что случайная величина X обладает краткосрочной зависимостью. Я, однако, показал (см. главу 37), что эмпирические последовательности данных с длинными хвостами часто лучше интерпретируются в свете допущения 2>=∞ . С вопросом же о том, является та или иная последовательность данных слабо (краткосрочно) или сильно (долгосрочно) зависимой, мы впервые столкнулись еще тогда, когда я ввел долгосрочную зависимость для интерпретации феномена Херста (см. главу 27).

Такая смесь длинных хвостов и очень долгосрочной зависимости могла бы завести статистиков в тупик, поскольку стандартные методы второго порядка, рассчитанные на неизменную зависимость (корреляцию, спектры), руководствуются допущением 2><∞. Есть. Однако, альтернатива.

Можно пренебречь распределением величины X(t) и проанализировать ее долгосрочную зависимость с помощью нормированного размаха; иначе такая процедура называется R/S - анализом. Этот статистический метод, предложенный в [408] и получивший математическое обоснование в [384], основан на различии между краткосрочной и очень долгосрочной зависимостями. В этом методе вводится постоянная J, которая называется коэффициентом Херста, или R/S - показателем, и может принимать любые значения в интервале от 0 до 1.

Значимость постоянной J можно описать еще до ее определения. Особое значение J=½ характерно для независимых, марковских и других случайных функций с краткосрочной зависимостью. Таким образом, для того, чтобы узнать, присутствует ли в эмпирических данных или в выборочных функциях очень долгосрочная непериодическая статистическая зависимость, достаточно проверить, приемлемо ли статистически предположение J=½. Если нет, то такая зависимость присутствует, а мера ее интенсивности определяется разностью J−½, значение которой можно оценить на основании имеющихся данных.

Главное достоинство такого подхода заключается в том, что показатель J устойчив по отношению к маргинальному распределению. То есть он эффективен не только в тех случаях, когда последовательности данных или случайные функции являются почти гауссовыми, но и тогда, когда распределение X(t) настолько далеко от гауссова, что 2(t)> расходится, а в этом случае не работает ни один из методов второго порядка.

Определение статистическогоR/S- размаха. В непрерывном времени t определим X^*(t)=₀∫^tX(u)du, X^2*(t)=₀∫^tX²(u)du и X^*2=(X^*)². В дискретном времени i определим X^*(0)=0 и ; здесь [t] - целая часть t. Для всякого d>0 (величину d назовем запаздыванием) определим скорректированный размах суммы X^*(t) на временнóм промежутке от 0 до d в виде

.

Оценим далее выборочное среднеквадратическое отклонение величины X(t):

S²(d)=X^2*(d)/d−X^*2/d².

Величина Q(d)=R(d)/S(d) называется статистическим R/S - размахом или самонормированным самокорректированным размахом суммы X^*(t).

ОпределениеR/S - показателя J. Предположим, что существует некоторое вещественное число J, такое, что при d→∞ величина (1/d^J)[R(d)/S(d)] сходится по распределению к некоторой невырожденной предельной случайной величине. Как доказано в [384], из этого предположения следует, что 0≤J≤1. В этом случае говорят, что функция X имеет R/S - показатель J и постоянный R/S - префактор.

Сделаем более общее предположение: пусть к некоторой невырожденной предельной случайной величине сходится по распределению отношение [1/d^JL(d)][R(d)/S(d)], где L(d) - некоторая медленно изменяющаяся на бесконечности функция, т.е. функция, удовлетворяющая условию L(td)/L(d)→1 при d→∞ для всех t>0. Простейшим примером такой функции является L(d)=lnd. В этом случае говорят, что функция X имеет R/S - показатель J и R/S - префактор L(d).

Основные результаты [384]. Когда X(t) - белый гауссов шум, имеем J=½ и постоянный префактор. Если точнее, то отношение e^−δJR(e^δ)/S(e^δ) является стационарной случайной функцией от δ=lnd.

В более общем виде, равенство J=½ справедливо во всех случаях, когда S(d)→2>, а нормированная сумма a^−½X^*(at) при a→∞ слабо сходится к B(t).

Когда X(t) - дискретный дробный гауссов шум (т.е. последовательность приращений функции B_H(t), см. с. 488), имеем J=H, где H∈]0,1[.

В более общем виде, для получения J=H≠½ и постоянного префактора достаточно, чтобы S(d)→2> и чтобы сумма X^*(t) приближалась к функции B_H(t) так, что *(t)>~t^2H.

В еще более общем виде, значение J=H≠½ и префактор L(d) преобладают, если S(d)→2>, а X^*(t) приближается к функции B_H(t) и удовлетворяет соотношению *2(t)>~t^2HL(t).