Фрактальная геометрия природы

Между величинами C(S) и F имеет место простое соотношение. Когда показатель F, используемый при определении емкости C(S), больше, чем размерность D Хаусдорфа – Безиковича, C(S) обращается в нуль, - это означает, что даже при «наиболее эффективном» распределении массы по множеству S потенциал в какой-то из точек бесконечен. Когда же F меньше D, емкость множества S положительна. То есть размерность Хаусдорфа – Безиковича выступает здесь, согласно Пойа и Серё, как емкостная размерность. Тождественность этих понятий была в наиболее общем виде доказана Фростманом [158].

В этой связи стоит упомянуть и о сложном соотношении между емкостной мерой и мерой Хаусдорфа в размерности D, полученном Телором (см. [559]).

5. «АНОМАЛЬНАЯ» РАЗМЕРНОСТЬ

Ядра |u|^−F, где F≠E−2, ассоциируются в сознании физика с пространством вложения с «аномальной евклидовой» размерностью 2−F. (Я не склонен думать, что под этими терминами подразумеваются какие-то реальные обобщения размерности E на какие-либо положительные вещественные числа, кроме целых.) Принимая во внимание а) наличие связи между размерностями D и F (размерность Фростмана) и б) роль размерности D в описании скоплений галактик (установленную в главе 9), мы приходим в рамках «аномально – размерностной» терминологии к следующему утверждению: фрактальная размерность скоплений галактик D=1 не является аномальной, однако наблюдаемая фрактальная размерность D=1,23 требует, по всей видимости, пространства вложения с аномальной размерностью.

РАЗМЕРНОСТЬ И ПОКРЫТИЕ МНОЖЕСТВА (ИЛИ ЕГО ДОПОЛНЕНИЯ) ШАРАМИ

В моем понимании фрактальная размерность и все ее допустимые варианты являются не топологическими, но метрическими понятиями. Они включают в себя некое метрическое пространство Ω, то есть пространство, в котором соответствующим образом определяется расстояние между любыми двумя точками. Замкнутый (либо открытый) шар с центром ω и радиусом ρ в таком пространстве представляет собой множество всех точек, находящихся от точки ω на расстоянии ≤ρ (либо <ρ). (Шары суть сплошные тела, а сферами мы называем их поверхности.)

Существует много способов покрытия некоторого заданного ограниченного множества S в пространстве Ω. Часто (как, например, в случаях, рассматриваемых в данном разделе) эти способы естественным образом включают в себя понятие размерности. В фундаментальных прецедентных исследованиях упомянутые размерности имеют одинаковые значения. Однако в других примерах их значения могут быть различными.

1. КАНТОР И МИНКОВСКИЙ

Самый приблизительный способ покрытия, восходящий еще к Кантору, заключается в том, что каждая точка множества S объявляется центром шара; объединение этих шаров рассматривается далее как сглаженный вариант множества S и обозначается через S(ρ).

Добавим сюда допущение о том, что Ω является E - мерным евклидовым пространством. В этом случае понятие объема (vol) определено, и можно записать

vol{d−мерный шар радиуса ρ}=γ(d)ρ^D,

где

γ(d)=[Γ(½)]d/Γ(1+d/2).

Если S - куб, объем которого много больше ρ³, то

vol[S(ρ)]~vol[S].

Если S - квадрат, площадь которого много больше ρ², то

vol[S(ρ)]~2ρ×площадь[S].

Если S - интервал, длина которого много больше ρ, то

vol[S(ρ)]~πρ²×длина[S].

Уточним наше выражение. Введем для обозначения объема, площади или длины общий термин «протяженность», а буквой d обозначим стандартную размерность. Положив

V=vol[S(ρ)]/γ(E−d)ρ^E−d,

мы увидим, что и для кубов, и для квадратов, и для прямых верно следующее выражение:

.

Эта формула представляет собой вовсе не пустячное соотношение, связывающее два в равной степени безобидных понятия, как это может показаться на первый взгляд. Как показывает пример, представленный Х. А. Шварцем (1882), по мере увеличения точности триангуляции кругового цилиндра сумма площадей треугольников вовсе не обязательно сходится к площади поверхности цилиндра. Для того, чтобы избежать такого парадоксального поведения, Минковский [431] предпринял попытку свести понятия длины и площади к простой и здравой концепции объема с помощью вышеописанного метода покрытия множества S шарами.

Здесь, однако, с самого начала возникает небольшое затруднение: выражение для V при ρ→0 может и не иметь предела.

В этом случае предел lim заменяется парой limsup и liminf. Любому вещественному числу A из открытого интервала ]liminf,limsup[ соответствует, по меньшей мере, одна последовательность значений ρ_m→0, таких, что

.

Такой последовательности, однако, не существует, если либо A<liminf, либо A>limsup. В соответствии с этими определениями, Минковский [431] называет величины

и