Фрактальная геометрия природы

Исследование относительной перемежаемости может привести нас и к другим определениям размерности. Вместо множества в метрическом пространстве рассмотрим некую меру μ(S), которая определена в ограниченном подпространстве Ω (в соответствующем σ - поле, включающем в себя и шары) и обладает нижеперечисленными свойствами. (А) Когда S - шар, μ(S)>0, а μ(Ω)=1, т.е. «множество, в котором μ>0» совпадает с пространством Ω. (Б) Руководствуясь интуитивными соображениями, можно однако предположить, что мера μ «концентрируется» внутри очень малой части пространства Ω. Необходимы новые способы количественного выражения (Б).

При заданных ρ>0 и 0<λ<1 рассмотрим множества ∑_λ, для которых верно неравенство μ(Ω−∑_λ)<λ. Обозначим через N(ρ,∑_λ) инфимум количества шаров радиуса ρ, необходимых для покрытия множества ∑_λ. Определим

N(ρ,λ)=infN(ρ,∑_λ).

За некоторыми, на мой взгляд, многообещающими эвристическими оценками скрываются выражения «размерностного» вида

;

;

,

строгое исследование которых можно было бы только приветствовать. Разумеется, эвристические оценки заменяют значение infN(σ,λ) действительным N(σ,∑_λ) относительно некоторого приемлемого покрытия ∑_λ.

ПОТЕНЦИАЛЫ И ЕМКОСТИ. РАЗМЕРНОСТЬ ФРОСТМАНА

Размерность Хаусдорфа – Безиковича D играет центральную роль в современной теории классических и обобщенных потенциалов (потенциалов Марселя Рисса) с ядрами вида |u|^−F, где F≠E−2 . Из появившихся в недавнее время неэлементарных исследований теории потенциалов рекомендую обратить внимание на книги Дюплесси ([122], глава 3) и Ландкофа [287] (в последней материал изложен более подробно).

1. ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ

Мы вскоре сможем убедиться в том, что особое значение D=1 тесно связано с ньютоновским потенциалом в ℝ³. Эта связь лежит в основе замечаний, высказанных в главе 9 относительно различных космологических теорий, согласно которым D=1, - таких, например, как теории Фурнье и Джинса – Хойла.

Я полагаю, должна существовать возможность переформулировать эти теории в виде следствий из ньютонова закона всемирного тяготения.

Следовательно, должна существовать и возможность вывести отклонение наблюдаемого значения D~1,23 от единицы из неньютоновских (релятивистских) эффектов.

2. РАЗМЕРНОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛЫ: ЭВРИСТИКА

Как уже упоминалось в главе 9, Бентли и Ньютону было известно о том, что в теории гравитационного потенциала имеет место эффект, аналогичный кеплерову эффекту пылающего неба («парадоксу Ольберса»). Предположим, что E=3, что масса M(R), заключенная внутри сферы радиуса R с центром в точке ω, пропорциональна R_D, где D=3, и что ядро потенциала является ньютоновским и имеет вид R^−F, где F=1 . Масса, заключенная внутри оболочки толщины dR и радиуса R, пропорциональна R^D−1; следовательно, полный потенциал в точке ω, определяемый как ∝∫R^−FR^D−1dR=∫RdR, расходится в бесконечности. Расхождения в бесконечности не будет, если D=3, а F>3, т.е. если потенциал не является ньютоновским. Тот же результат мы получим и в модели Фурнье – Шарлье с F=1 и D<1.

Для общего интеграла ∫R^D−1−FdR условие сходимости в бесконечности очевидно: D. Таким образом, устанавливается однозначная связь между D и F; значению F=1, в частности, соответствует D=1.

3. ПОТЕНЦИАЛ И ЕМКОСТЬ

Эту связь исследовали Д. Пойа и Д. Серё, в окончательном же виде ее сформулировал О. Фростман в [158]. Главное усовершенствование заключается в том, что рассуждение теперь распространяется не только на точку начала координат ω, но на все точки, принадлежащие множеству S (компактному). Рассмотрим единичную массу, распределенную на множестве S так, что область du содержит массу dμ(u). В точке t ядро |u|^−Fдает потенциальную функцию

∏(t)=∫|u−t|^−Fdμ(u).

Для измерения «протяженности» множеств де Ла Вале Пуссен применил физическую концепцию электростатической емкости. Идея такова, что если емкость C(S) множества S достаточно высока, то масса, которую мы можем «перетасовать» для достижения наименее возможного максимального потенциала, равна μ.

Определение. Найдем супремум потенциала по всем точкам t, затем – инфимум полученного результата относительно всех возможных распределений единичной массы на множестве S и, наконец, положим

.

Если используется ядро 1/r, то такой минимальный потенциал и в самом деле создается электрическими зарядами на проводящем множестве.

Эквивалентное определение. Величина [C(S)]⁻¹представляет собой инфимум (среди всех распределений массы, носителем которой является множество S) энергии, определяемой двойным интегралом

∫∫|t−u|^−Fdμ(s)dμ(t).

4. D КАК РАЗМЕРНОСТЬ ФРОСТМАНА