Фрактальная геометрия природы

D=−(π₁lnπ₁+π₂lnπ₂+π₃lnπ₃).

Формально величина D является «энтропией», как она определена в термодинамике, или «информации»», как ее определяет Шеннон (см. [34]).

Г. Размерность подобия множества B. Эта размерность равна единице. В самом деле, множество B самоподобно с N=3 и r=⅓, следовательно, D_S=ln3/ln3=1; причина введения индекса S вскоре разъяснится. Аналогичным образом, размерность трехмерных вариантов B равна 3. В данном примере величина D_S не может иметь большого физического смысла: во-первых, она не зависит от весов W_i, если те отвечают вышеприведенным условиям; во-вторых, если заменить множество B его канторовым пределом, то ее значение скачкообразно изменяется с 1 на ln2/ln3.

Кроме того, фрактальное однородное распределение больше не может основываться на самоподобии. В самом деле, если соотнести с каждым участком длиной 3^−k один и тот же вес, в результате мы получим однородное распределение на интервале [0,1]. Оно никак не связано со значениями весов W_i и отлично от меры, с помощью которой генерировалось само множество. К тому же, при переходе к канторову пределу это однородное распределение разрывно переходит в распределение весьма неоднородное.

Д. Размерность подобия «множества концентрации» множества B. Эта размерность равна D. Дело в том, что мера Безиковича довольно точно аппроксимируется фрактально однородной мерой, размерность подобия которой равна размерности Хаусдорфа – Безиковича D . Точнее говоря, после некоторого большого количества k этапов каскада бóльшая часть первоначально однородной массы оказывается сосредоточенной в 3^kD троичных интервалов с длиной 3^−k. Распределение этих интервалов в [0,1] неоднородно, однако длина самой большой пустоты стремится при k→∞ к нулю.

Комментарий. Следует различать «полное множество», которое должно включать в себя всю массу, и «частное множество», в котором сосредоточена бóльшая часть массы. Оба множества самоподобны, однако их размерности самоподобия D_S и D различны. См. также подраздел 5 данного раздела.

4. СЛУЧАЙНОЕ ВЗВЕШЕННОЕ СТВОРАЖИВАНИЕ [378, 376]

В работах [378, 376] я предложил естественное и достаточно глубокое обобщение метода Безиковича, которое получило дальнейшее развитие в [254].

Воздействие каждого этапа каскада заключается в умножении плотностей в b³ субвихрях каждого вихря на одинаково распределенные и статистически независимые случайные веса W_i.

После k этапов каскада взвешенного створаживания количество вихрей, в которых оказывается сосредоточена бóльшая часть массы, составляет величину порядка b^kD* (при общем количестве вихрей b^3k), где

D^*=−b(r³W)>=3−bW>.

В частности, если величина W дискретна и ее возможные значения w_i имеют относительные вероятности p_i, имеем

D^*=3−∑p_iw_ilog_bw_i.

СлучайD^*>0; D=D^*. Мера, порождаемая взвешенным створаживанием аппроксимируемого фрактально однородной мерой с размерностью D=D^*, получаемой так же, как описано в главе 23.

СлучайD^*<0; D=0. Количество непустых ячеек асимптотически стремится к нулю, а это значит, что предел почти наверное оказывается пустым.

В общей сложности, носитель массы аппроксимируется замкнутым множеством с размерностью D=max(0,D^*).

Сечения. Аналогичным образом масса, заключенная в плоских и линейных сечениях, сосредотачивается в относительно малом количество вихрей: b^D*−1 для плоских сечений (при общем числе вихрей b²) и b^D*−2 для линейных сечений (при общем числе вихрей b). То есть сечения невырождены при D^*>1 (и, соответственно, D^*>2) и аппроксимируются фракталами с размерностями D^*−1 и D^*−2. Таким образом, размерности сечений в этом случае подчиняются тем же правилам, что и в случае лакунарных фракталов.

Новые случайные величины, инвариантные при взвешенном сложении. Пусть X - это случайная величина, которая асимптотически задает вес, заключенный внутри вихря любого порядка k или внутри его сечения прямой или плоскостью (размерность сечения обозначим через Δ). Я показал, что величины X удовлетворяют функциональным уравнениям

,

где C=b^Δ, величины W_g и X_g - независимые случайные величины, равенство же выражает идентичность распределения. Это уравнение представляет собой обобщение уравнения (L), рассматриваемого в разделе устойчивые по леви случайные величины и функции. Решения этого уравнения являются обобщением устойчивых случайных величин и подробнее обсуждаются в цитированных выше статьях [378, 376] и [254].

5. ПРЕДЕЛЬНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ СЛУЧАЙНОЕ СТВОРАЖИВАНИЕ И ФУНКЦИЯ [367]