Фрактальная геометрия природы

11. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДРОБНЫХ ГАУССОВЫХ ШУМОВ

Зададим дисперсию G(x), отличную от G(x)=x, составим сумму и интерполируем ее линейно для нецелочисленных T. Результат (который мы обозначим через B_G(t)−B_G(0)) асимптотически масштабно - инвариантен, если существует некоторая функция A(T), такая, что предел невырожден при любом h∈(0,1). Мюррей Розенблатт рассмотрел случай G(x)=x²−1. В статье [551] показано, что эта задача тесно связана с эрмитовым рангом дисперсии G в ряд Эрмита. О более новых находках в этом направлении можно узнать из работ [554] и [110].

КРИВЫЕ ПЕАНО

Дополнительные материалы по этой теме (а также по нецелочисленным основаниям систем счисления) можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.

МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ УСЕЧЕНИИ

Связь гиперболического распределения с масштабной инвариантностью основывается на следующем свойстве (присущем только гиперболическому распределению): распределение нормированной усеченной случайной величины «U/u₀, если U/u₀>1» не зависит от u₀.

Доказательство. Пусть имеется некоторое основное распределение P(u), причем нормированная усеченная с. в. W=U/u₀ имеет обычное условное распределение P(wu)/P(u₀₎. Нам нужно, чтобы это условное распределение было одинаковым для u₀=h' и u₀=h''. Запишем v'=lnh' и v''=lnh'' и рассмотрим функцию R=lnP(u) как функцию от v=lnh. Для получения искомого тождества P(uh')/P(h')=P(uh")/P(h") необходимо, чтобы при любом выборе значений v,v' и v'' выполнялось равенство R(v'+v)−R(v')=R(v"+v)−R(v"). А для этого функция R должна быть линейной функцией от v.

МУЗЫКА И МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

Музыка обладает, по меньшей мере, двумя достойными упоминания скейлинговыми свойствами.

Темперированные музыкальные гаммы и их связь с частотным спектром модифицированной функции Вейерштрасса. Из всех слов современного английского языка, восходящих к латинскому корню scala («лестница»), самым употребительным является, конечно же, не скейлинг, прочно обосновавшийся в нашем эссе, а слово scalу в значении «музыкальная гамма», под чем подразумевается некий дискретный спектр, получаемый умножением частот. В темперированной гамме значения частот располагаются в логарифмической последовательности. Например, додекафоническая (двенадцатитоновая) гамма соответствует основанию b=2^1/12; в результате бóльшая часть основных тонов любого музыкального инструмента приходится на относительно низкие частоты его полного частотного диапазона, высокие же частоты достаются немногим избранным.

Экстраполируя такой спектр в обе стороны на частоты, не воспринимаемые человеческим ухом, получим спектр, неотличимый от спектра функции Вейерштрасса (соответствующим образом модифицированной, см. с. 533) с тем же значением b . Следовательно, для того, чтобы добавить низких частот в музыкальное произведение, достаточно ввести в оркестр новые инструменты, способные производить низкие тоны желаемой частоты.

Согласно теореме Эйлера – Фурье, самая общая периодическая функция представляется в виде ряда линейно упорядоченных гармоник и, следовательно, последовательность основных тонов некоего эталонного музыкального произведения может быть представлена только очень суженными функциями.

Музыка как масштабно-инвариантный(1/f)шум (по Р.Ф. Фоссу). Второй скейлинговый аспект музыки связан с изменением во времени различных характеристик звукового сигнала: например, мощности (определяемой как квадрат интенсивности) или мгновенной частоты (определяемой как количество пересечений сигналом нулевого уровня за единицу времени). Фосс и Кларк [580, 581] (см. также [164]) отмечают, что в произведениях таких различных композиторов, как Бах, Бетховен и «Битлз», обе упомянутые характеристики звукового сигнала представляет собой масштабно-инвариантные шумы (или 1/f - шумы, см. с. 356).

И наоборот, когда мы инициируем случайную музыку неким внешним физическим источником шума со спектральной плотностью вида 1/f^B и различными скейлинговыми показателями, получается звук, как обнаружили те же Фосс и Кларк [580, 581], больше всего «похож» на музыку, если в качестве инициатора выступает 1/f - шум.