Фрактальная геометрия природы

Литература. Преобразование Римана – Лиувилля применяется и во многих других, самых разнообразных, областях (см. [616], II, с. 133, [456], [503], [291]). О менее известном приложении этого преобразования к теории вероятности (с отсылками к Колмогорову [275]) можно прочесть в [404].

Влияние на гладкость. Когда порядок H−½ преобразования Римана – Лиувилля положителен, оно представляет собой дробную форму интегрирования, поскольку увеличивает гладкость функции. Гладкость равнозначна локальной персистентности, однако гладкость, полученная посредством интегрирования, распространяется и на глобальные свойства функции. При H−½<0 преобразование Римана – Лиувилля представляет собой дробную форму дифференцирования, поскольку оно усиливает иррегулярность, которая зависит от локального поведения.

Дробное интегро – дифференцирование броуновских функций. В случае дробной броуновской функции из окружности в прямую параметр H сверху не ограничен. Дробное интегрирование порядка H−½>½ броуновской функции из окружности в прямую дает дифференцируемую функцию. Напротив, в случае броуновских функций из прямой в прямую порядок H−½ не может превышать ½, поэтому функция B_H(t) не является дифференцируемой.

И в тех, и в других броуновских функциях (из окружности в прямую и из прямой в прямую) локальная иррегулярность препятствует дифференцированию при значении параметра H<0, следовательно, порядок дифференцирования не может быть меньше −½.

Двустороннее обобщение дробного интегро – дифференцирования. То обстоятельство, что классическое определение Римана – Лиувилля сильно асимметрично по отношению к переменной t, не вызывает никаких сложностей до тех пор, пока t обозначает время. Однако для тех случаев, когда координата t может «распространяться» в обоих направлениях, необходимо симметричное определение. Я предлагаю следующее:

B_H(t)=[Γ(H+½)]⁻¹_−∞∫^t(t−s)^H−½dB(s)−_t∫^∞(t−s)^H−½dB(s).

9. БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ

Леви (см. [306, 307, 308, 309, 410]) вводит понятие броуновских функций из пространства Ω в вещественную прямую, где Ω представляет собой либо обычное пространство ℝ^E (расстояние |PP₀| определяется как отрезок прямой), либо сферу в пространстве ℝ^E+1 (расстояние определяется вдоль геодезических линий), либо гильбертово пространство. Для каждой из соответствующих броуновских функций значений разности B(P)−B(P₀) является гауссовой случайной величиной с нулевым средним и дисперсией G(PP₀|), где G(x)=x. Рекомендую также обратить внимание на статьи [421] и [70].

Представление броуновской функции в виде белого гауссова шума, когдаΩ- сфера. В этом случае функция B(P) строится, как описано в главе 28: на поверхность сферы накладывается слой белого гауссова шума, а функция B(P) определяется как интеграл этого белого шума по поверхности полусферы, северный полюс которой совпадает с точкой P . Вообще-то, я предпочитаю несколько иной вариант, в котором берется половина интеграла по одной полусфере, а затем вычитается половина интеграла по другой полусфере. Такая процедура позволяет обобщить второй процесс, описанный в подразделе 4.

Представление броуновской функции в виде белого гауссова шума, когдаΩ−ℝ^E[79]. Этот случай требует более сложного алгоритма (алгоритм был предложен Ченцовым). Наиболее наглядное представление об этом алгоритме можно получить, когда пространство Ω есть ℝ², и B(0,0)=0. Построим вспомогательный цилиндр единичного радиуса с координатами u и θ и наложим на него слой белого шума. Далее (в модифицированном мною [379] варианте алгоритма) проинтегрируем этот шум по прямоугольнику от θ до θ+dθ и от 0 до u. Получим броуновскую функцию из прямой в прямую, которая обращается в нуль при u=0; обозначим ее через B(u,θ,dθ). Для каждой точки (x,y) плоскости броуновские составляющие B(xcosθ+ysinθ,θ,dθ) статистически независимы, а их интеграл по θ равен B(x,y).

10. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ

В работе Ганголли [161] (отдельные моменты которой были предвосхищены еще Ягломом [608]) функция B(P) обобщается до случая G(x)=x^2H (см. предыдущий подраздел). Здесь, однако, не приводится явного алгоритма для построения результирующей функции. Для того чтобы заполнить этот пробел, я обобщил в [379] построение Ченцова, заменив каждую функцию B(u,θ,dθ) двусторонне определенной дробной броуновской функцией из прямой в прямую.

О размерности D см. в [610, 611].

О моделировании с помощью БПФ см. [582].