Фрактальная геометрия природы

Дробные броуновские функции из окружности в прямую гораздо более изощрены, чем функции, описанные в подразделе 4. Простейшая из них представляет собой сумму дробного ряда Фурье – Броуна – Винера, который, по определению, имеет независимые гауссовы коэффициенты и полностью случайные фазы, причем модули коэффициентов пропорциональны n^−H−½ . Дробная броуновская функция из тора в прямую представляет собой сумму двойного ряда Фурье с такими же свойствами.

Предостережение. Исходя из поверхностной аналогии, можно предположить, что дробную броуновскую функцию из окружности в прямую можно получить с помощью процесса, применимого и в недробном случае: образовать тренд B^*_H(t) дробной броуновской функции из прямой в прямую, затем исключить этот тренд из функции B_H(t) и повторением получить периодическую функцию.

К сожалению, полученная таким образом периодическая функция и сумма ряда Фурье с коэффициентами n^−H−½ суть разные случайные функции. В частности, ряд Фурье стационарен, в то время как многократно повторенная функция B_H(t) с исключенным трендом – нет. Например, на некотором малом интервале по обе стороны от t=0 многократно повторенный мост с исключенным трендом объединяет два непоследовательных подучастка функции B_H(t). Ограничения, имеющегося в определении моста, вполне достаточно для того, чтобы объединенный участок оказался непрерывным, но совершенно не достаточно для того, чтобы сделать его стационарным. Такой участок, к примеру, совсем не тождествен по своему распределению некоторому малому участку, составленному из последовательных подучастков по обе стороны от точки t=π.

Замечания по моделированию. Вычислить дробную броуновскую функцию из прямой в прямую с помощью конечных дискретных методов Фурье теоретически невозможно; на практике же это вполне осуществимо, однако требует немалой сноровки. Наиболее прямолинейная процедура заключается в следующем: а) вычисляем соответствующую функцию из окружности в прямую, б) отбрасываем ее за исключением ограниченного участка, соответствующего малому подынтервалу периода 2π (скажем, 0^*) и в) прибавляем к результату отдельно вычисленную низкочастотную составляющую. При H→1 значение t^* должно стремиться к нулю.

Фрактальные размерности. Для полного графика D=2−H (см. [457]). Когда множество уровня непусто, D=1−H . Этот результат приводится в [412] (усиливая теорему 5 (с. 146) [248]).

Критический переход приH=1. Дробный ряд Фурье – Броуна – Винера с независимыми гауссовыми коэффициентами, пропорциональными n^−½−H, сходится в непрерывную сумму при всех H>0. Когда значение параметра H пересекает единицу, сумма становится дифференцируемой. Что касается дробного броуновского процесса, то он определен лишь до H=1. Различие в диапазоне допустимых значений параметра H может служить подтверждением того, что эти два процесса существенно отличаются друг от друга. Это различие также предполагает, что физические критические переходные феномены можно моделировать с помощью броуновских функций из прямой в прямую, но никак не с помощью броуновских функций из окружности в прямую.

7. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ СЛЕДЫ ИЗПРЯМОЙ ИЛИ ОКРУЖНОСТИ В ПРОСТРАНСТВО

В случае функции из окружности в пространство с H<1 размерность следа равна min(E,1/H) . Этот вывод является частью теоремы 1 (с. 143) [248].

8. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ДРОБНОГО ИНТЕГРО – ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Для преобразования броуновской функции из прямой в прямую B(t) в дробную функцию B_H(t) проще всего записать

B_H(t)=[Γ(H+½)]⁻¹_−∞∫^t(t−s)^H−½dB(s).

Этот интеграл расходится, однако приращения вида B_H(t)−B_H(0) являются сходящимися. Он представляет собой подвижное среднее ядра (t−s)^H−½ - классическое, хотя и несколько туманное преобразование, известное адептам чистой математики под именем дробного интеграла или дифференциала Римана – Лиувилля порядка H+½.

Эвристика. Идея отсутствия необходимости в целочисленном порядке интегрирования и / или / дифференцирования наиболее доходчиво объясняется в терминах спектрального анализа. В самом деле, обычное интегрирование некоторой периодической функции эквивалентно умножению коэффициентов Фурье этой функции на 1/n, а обычное интегрирование Фурье (если оно определено) на 1/f. Следовательно, операция, при которой преобразование Фурье умножается на дробную степень (1/f)^H+½ , может быть с полным правом названа дробным интегро - дифференцированием. Так как спектр белого шума имеет вид f⁻⁰, спектр функции B_H(t) можно записать в виде (1/f)^2(H+½)=f^−2H−1 (как и было заявлено).