Фрактальная геометрия природы

Неограниченные множества. Неограниченное множество S самоподобно относительно коэффициента r, если множество r(S) конгруэнтно множеству S.

2. САМОАФФИННОСТЬ

Аффинное преобразование в евклидовом E - мерном пространстве определяется совокупностью положительных вещественных коэффициентов r=(r₁,...,r_δ,...,r_E). При этом преобразовании каждая точка x=(x₁,...,x_δ,...,x_E) переходит в точку

r(x)=r(x₁,...,x_δ,...,x_E)=(x₁r₁,...,x_δr_δ,...,x_Er_E)

а множество S, как следствие, переходит в множество r(S).

Ограниченные множества. Ограниченное множество S самоаффинно (относительно вектора коэффициентов r и целого числа N), если S представляет собой объединение N непересекающихся подмножеств, каждое из которых конгруэнтно множеству r(S).

Неограниченные множества. Неограниченное множество S самоаффинно относительно вектора коэффициентов r, если множество r(S) конгруэнтно множеству S.

Вышеприведенное определение часто применяется при следующих условиях: а) множество S представляет собой график функции X(t) из скалярного времени t в (E−1) - мерный евклидов вектор; б) r₁=...r_δ=...r_E−1=r; в) r_E≠r. В этом случае прямое определение выглядит следующим образом: вектор – функция X(t) от времени самоаффинна (относительно показателя α и фокального времени t₀), если существует некоторый показатель lnr_E/lnr=α>0 - такой, что при любом h>0 функция h^−αX[h(t−t₀)] независима от h.

Полуустойчивость по Ламперти. Случайные неограниченные самоаффинные множества в работах Ламперти [283, 285] полуустойчивыми.

Аллометрия . В главе 17 мы отмечали, что при изменении высоты дерева (имеется в виду дерево растительного происхождения) в r раз диаметр его ствола изменяется в r^3/2 раз. Скажем больше: представляющие точки, координаты которых и определяют различные линейные меры деревьев, аффинны друг другу. Биологи называют такие фигуры аллометрическими.

БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА

Вследствие большого разнообразия всевозможных броуновских множеств, возникает необходимость по возможности в строгой (а иногда и весьма громоздкой) терминологии.

1. БРОУНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Этим термином обозначается классическое обыкновенное броуновское движение, иначе называемое функцией Винера, функцией Башелье или функцией Башелье – Винера – Леви. Приводимое ниже громоздкое определение позволяет легко классифицировать различные обобщения такой функции.

Допущения.А) Временнáя переменная t есть вещественное число. Б) Пространственная переменная x есть вещественное число. В) Параметр H равен 1/2. Г) Вероятность Pr(X задается функцией ошибок erf(x), которая представляет собой распределение приведенной гауссовой случайной величины с =0 и 2>=1.

Определение. Броуновская функция из прямой в прямую B(t) есть случайная функция, такая, что при любых t и Δt верно следующее:

Pr([B(t+Δt)−B(t)]/|Δt|^H

Белый гауссов шум. Функция B(t) непрерывна, но не дифференцируема. Это означает, что производная B'(t) не существует в виде обыкновенной функции, а представляет собой обобщенную функцию (распределение Шварца). Называется эта производная белым гауссовым шумом. Можно записать функцию B(t) как интеграл B'(t).

Самоаффинность. Понятие распределения вероятностей применимо не только к случайным величинам, но и к случайным функциям. Если положить B(0)=0, то распределение вероятностей нормированной функции t^½B(ht) не зависит от t. Такая масштабная инвариантность является проявлением самоаффинности.

Спектр. С точки зрения спектрального или гармонического анализа, спектральная плотность функции B(t) пропорциональна f^−1−2H, т.е. f⁻². Однако смысл спектральной плотности f⁻² требует особого рассмотрения, так как функция B(t) нестационарна, а обычная теория ковариантности и спектра Винера – Хинчина имеет дело со стационарными функциями. Поэтому о спектрах мы поговорим позже – в разделе, посвященном функции Вейерштрасса.

Недиффернцируемость. Функция B(t) непрерывна, но не дифференцируема. Рассмотрение недифференцируемости я также предлагаю отложить до раздела функция Вейерштрасса.

Литература. Труды Леви [304] и [306] отличаются очень характерным стилем и загадочным изяществом, что уже создало им определенную репутацию в научных кругах (см. главу 40). Однако по глубине интуиции и простоте изложения им и сейчас нет равных.