Фрактальная геометрия природы

Литература. Книга Пейли и Винера [461] знаменита своей неумолимой алгеброй. Однако в главах IX и X этой книги имеются очень основательные пояснительные параграфы, которые, несомненно, стоит прочесть. Могу порекомендовать также монографию Каана [248], но только математикам, так как полученные в ней результаты простыми словами не объясняются.

Броуновский мост с нечетными петлями. Функции B_O(t)=½[B^B(t)−B^B(t+π)] и B_E(t)=½[B^B(t)−B^B(t+π)] представляет собой суммы гармонических составляющих мостовой функции B_B(t) с нечетными и с четными номерами, соответственно. Достоинство нечетной суммы состоит в том, что ее можно получить непосредственно из белого гауссова шума B'(t), построенного на окружности:

B_O(t)=_−π∫⁰B'(t−s)ds−₀∫^πB'(t−s)ds.

Броуновская функция из прямой в окружность. Возьмем броуновскую функцию B(t), отбросим ее целую часть, и умножим дробный остаток на 2π. Результат определяет положение точки на единичной окружности. Эта броуновская функция из прямой в окружность упоминается здесь, в основном, для того, чтобы никто не перепутал ее с какой-либо из вышеописанных, весьма отличных от нее, функций.

5. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Для определения этой функции (обозначим ее B_H(t)) возьмем обыкновенную броуновскую функцию из прямой в прямую и изменим значение показателя H с ½ на любое вещественное число, удовлетворяющее неравенству 0. Функции с H≠½ оказываются вполне дробными.<1<>

Все функции B_H(t) непрерывны и недифференцируемы. Самое раннее упоминание о них я нашел в статье Колмогорова [275] 1940 г. Ссылки на другие разрозненные источники, а также описание различных свойств этих функций собраны в [404]. См. также [292].

Корреляция и спектр. Очевидно, что<[B_H(t+Δt)−B_H(t)]²>=|Δt|^2H. Спектральная плотность функции B_H(t) пропорциональна f^−2H−1. Показатель не является целым числом – в этом и заключается одна из нескольких причин, побудивших меня предложить для обозначения функций B_H(t) термин дробные.

Дискретный дробный гауссов шум. Этот шум определяется как последовательность приращений функции B_H(t) на последовательных единичных временных интервалах. Его корреляция равна

2⁻¹[|d+1|^2H−2|d|^2H+|d−1|^2H].

Долгосрочная корреляция. Персистентность и антиперсистентность. Положим B_H(0)=0 и определим предыдущее приращение как −B_H(−t), а последующее приращение как B_H(t). Имеем

<−B_H(−t)B_H(t)>=2⁻¹{<[B_H(t)−B_H(−t)]²>}−2<[B_H(t)]²>

=2⁻¹(2t)^2H−t^2H.

Разделив результат на H(t)²>=t^2H, получим корреляцию, которая оказывается независимой от t: она равна 2^2H−1−1. В классическом случае H=½ корреляция, как и ожидалось, обращается в нуль. При H>½ корреляция положительна, выражает персистентность и при H=1 возрастает до единицы. При H<½ корреляция отрицательна, выражает антиперсистентность и при H=0 уменьшается до −½.

То, что эта корреляция не зависит от t и в тех случаях, когда она не обращается в нуль, является очевидным следствием самоаффинности функции B_H(t).

Однако при изучении случайности многие начинают с того, что очень удивляются и / или / даже расстраиваются, впервые столкнувшись с тем фактом, что корреляции прошедших и будущих событий могут быть независимы от времени, не обращаясь при этом в нуль.

Практическое следствие для моделирования. При генерации случайной функции для всех целочисленных значений времени в интервале от t=0 до t=T выбор алгоритма, как правило, не зависит от значения T; алгоритм выбирают заранее, а затем выполняют его требуемое количество раз. Алгоритмы, необходимые для генерации дробных броуновских функций, имеют существенное отличие: они неизбежно зависят от T.

Описание быстрого генератора дискретных приращений функции B_H(t) есть в моей статье [364]. (В эту статью вкралась одна весьма досадная опечатка: в первой дроби на с. 545 следует убрать из числителя единицу и поместить ее перед всей дробью.)

Фрактальные размерности. Для графика D=2−H. Для нуль – множества и других множеств уровня D=1−H. См. [3].

6. ДРОБНАЯ БРОУНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ИЗ ОКРУЖНОСТИ ИЛИ ТОРА В ПРЯМУЮ