Фрактальная геометрия природы

Появившиеся в последнее время деловитые работы, рассчитанные исключительно на нужды отдельных и весьма разнообразных групп математиков, ученых и инженеров, слишком многочисленны, чтобы их здесь перечислять, однако хотелось бы отметить весьма многообещающую монографию Найта [270]. (К сожалению, автор предпочел не включать в книгу «результатов по хаусдорфовой размерности или мере выборочных траекторий, какими бы изящными они ни были, так как для них, судя по всему, не находится никаких областей приложения [1], и … [они] не представляются насущно необходимыми для общего понимания непосредственно прикладного материала. С другой стороны, надо признать, что такие особенности, как недифференцируемость выборочных траекторий в любой их точке, и в самом деле дают определенное представление об иррегулярности этих траекторий».)

2. ОБОБЩЕННЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ

Любое из упомянутых в предыдущем разделе допущений можно естественным образом обобщить, а любой процесс, получаемый в результате обобщения одного или нескольких допущений, существенно отличается от исходной функции B(t) и находит весьма серьезные области приложения.

А. Вещественное (скалярное) время t можно заменить точкой в евклидовом пространстве ℝ^E (где E>1) либо точкой на окружности или на сфере.

Б. Вещественную (скалярную) величину X можно заменить точкой в евклидовом пространстве ℝ^E (где E>1) либо точкой на окружности или на сфере.

В. Параметру H можно присвоить иное, нежели 1/2, значение. Гауссово распределение erf допускает любое значение параметра H из интервала 0.

Г. Гауссово распределение erf можно заменить одним из негауссовых распределений, рассматриваемых в разделе устойчивые случайные величины и функции леви.

Кроме того, функцию B(t) можно обобщить через ее представление в виде белого шума. Эта процедура дает существенно иные результаты.

3. ИСКЛЮЧЕНИЕ ТРЕНДА

Разброс броуновской функции из прямой в прямую B(t) в интервале от t=0 до t=2π можно разбить на две части: а) тренд, определяемый выражением B^*(t)=B(0)+(t/2π)[B(2π)−B(0)], и б) осциллирующий остаток B_B(t) . В случае броуновской функции B(t) эти члены оказываются статистически независимыми.

Тренд. График тренда B^*(t) представляет собой прямую, угловой коэффициент наклона которой является случайной гауссовой величиной.

Броуновский мост. «Лишенный тренда» осциллирующий член B_B(t) тождествен по своему распределению броуновскому мосту, определяемому как броуновская функция из прямой в прямую, ограниченная условием B(2π)=B(0).

Ошибочное исключение тренда. Сталкиваясь с выборками неизвестного происхождения, многие статистики – практики, работающие в экономике, метеорологии и других подобных областях, спешат разбить их на тренд и осцилляцию (и еще добавочные периодические члены). Тем самым они имплицитно допускают, что получаемые при этом слагаемые можно приписать различным порождающим механизмам, и что эти слагаемые статистически независимы.

Последнее допущение можно признать обоснованным только в том случае, если выборка порождена броуновской функцией B(t).

4. БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗОКРУЖНОСТИ В ПРЯМУЮ

Броуновский мост с петлями. Возьмем периодическую функцию от t, которая на временнóм промежутке 0 совпадает с броуновским мостом B_B(t), и выберем случайным образом (равномерно) приращение Δt на интервале [0,2π]. Функция B_B(t+Δt) статистически стационарна (см. раздел стационарность) и может быть представлена как случайный ряд Фурье – Броуна – Винера. Коэффициентами являются независимые гауссовы случайные величины, причем их фазы полностью случайны, а модули пропорциональны n⁻¹ (т.е. f⁻²), а совокупная спектральная энергия в области частот, превышающих f, пропорциональна f⁻¹.

Практическое следствие, касающееся моделирования. Моделирование функции B(t) неизбежно производится на конечном временнóм промежутке. Если в качестве такого промежутка взять интервал [0,2π], то можно использовать при моделировании дискретные конечные методы Фурье. Сначала с помощью быстрого преобразования Фурье вычисляется броуновский мост, а затем добавляется необходимый случайный тренд.