Фрактальная геометрия природы

Такого результата никто не ожидал, однако – как это случилось с большинством описанных в настоящем эссе открытий - ему находится вполне «естественное» объяснение постфактум. Лично мне больше по душе такое рассуждение: музыкальная композиция, как явствует из термина, составляется из компонентов. Самыми крупными компонентами являются части, различающиеся общим темпом и / или / уровнем громкости. Части, в свою очередь, состоят из более мелких компонентов, разделяющихся по тому же принципу. Причем, согласно настояниям преподавателей композиции, «компонентная» структура должна прослеживаться, вплоть до мельчайших осмысленных составных частей музыкального произведения. Получаемая в результате такого сочинения композиция просто обязана быть масштабно-инвариантной!

Однако эта инвариантность не распространяется на временные промежутки, меньшие по времени звучания одной ноты. При более высоких частотах в действие вступают совершенно иные механизмы (определяемые, среди прочего, резонансными свойствами человеческих легких и корпусов скрипок и флейт), в результате чего высокоэнергетический спектр сигнала становится больше похож на f⁻², чем на f⁻¹.

НЕЛАКУНАРНЫЕ ФРАКТАЛЫ

Согласно определениям лакунарности, приведенным в главе 34, нелакунарное множество в пространстве ℝ^E должно пересекать каждый куб или сферу в указанном пространстве. Выражаясь математическим языком, оно должно быть всюду плотным и, как следствие, незамкнутым. (Единственное всюду плотное замкнутое множество в пространстве ℝ^E - это само пространство ℝ^E!) В этом разделе мы покажем, что такие фракталы действительно существуют, но весьма отличаются «на ощупь» от замкнутых фракталов, рассматриваемых в других частях эссе. Ключевое различие заключается в том, что хотя к таким фракталам по-прежнему применимо понятие размерности Хаусдорфа – Безиковича, их размерность подобия и размерность Минковского – Булигана равны здесь E, а не D.

1. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ

Феномены, при описании которых не обойтись без нелакунарных фракталов, во множестве упоминаются на страницах настоящего эссе – я имею в виду, что многие из моих прецедентных исследований естественных фракталов вступают в противоречие с некоторыми из известных нам о Природе бесспорных истин.

В главе 8, например, мы забываем о том, что шум, служащий причиной появления фрактальных ошибок, в промежутках между ошибками ослабляется, но полностью не исчезает.

В главе 9 мы как-то пренебрегаем тем обстоятельством, что нам известно о существовании межзвездной материи. Вне всякого сомнения, ее распределение должно быть, по меньшей мере, таким же иррегулярным, как и распределение звезд. Более того, представление о невозможности определения плотности относится в большей степени именно к межзвездной, а не к звездной материи. В подтверждение приведу выдержку из статьи де Вокулера [104]: «Принимая во внимание то, что видимая материя образует ярко выраженные сгустки и кластеры во всех масштабах, трудно поверить в то, что невидимый межгалактический газ однороден и равномерно распределен … [его] распределение должно быть очень похоже … на распределение галактик». В работах других астрономов можно встретить такие термины, как межгалактические жгуты и межгалактическая паутина.

А рассмотренные в главе 10 бахромчатые поверхности турбулентной диссипации со всей очевидностью представляет собой чрезмерно упрощенное описание реальности.

В конце главы 9 очень кратко упоминается о фрактальном взгляде на распределение минералов. В этом случае факт применения замкнутых фракталов означает, что в областях, расположенных между медными месторождениями, медь полностью отсутствует. Разумеется, в большинстве областей меди действительно очень мало, однако было бы неверно предполагать, что в какой-либо области ее нет совсем.

Во всех перечисленных случаях определенные области, не представлявшие для нас в тот момент непосредственного интереса, были искусственным образом опустошены, чтобы получить возможность использовать при описании соответствующего феномена замкнутые фрактальные множества; однако, в конечном счете, эти области необходимо будет заполнить. Для решения такой задачи можно воспользоваться оригинальным гибридом, который называется нелакунарные фракталы.

Например, нелакунарное распределение масс в космическом пространстве – это такое распределение, при котором никакая область пространства не бывает пустой, но для каждого множества малых порогов θ и λ доля массы не менее 1−λ оказывается сосредоточена в области пространства, относительный объем которой не превышает θ.

2. ЦИТАТА ИЗ ДЕ ВИСА И КОММЕНТАРИЙ

В работе де Виса [106] описана весьма простая и наглядная ситуация, требующая применения нелакунарных фракталов; там же приводится некая «рабочая гипотеза», о которой, на мой взгляд, стоит рассказать подробнее.