Фрактальная геометрия природы

«Рассмотрим [месторождение руды] тоннажа W и средней степени чистоты M. Проведя воображаемый разрез, разделим месторождение на две части с одинаковым тоннажем ½W, но с различной средней степенью чистоты. Допустим, что чистота руды в более богатой половине равна (1+d)M, тогда чистота руды во второй половине должна быть равна (1−d)M, поскольку, согласно условию, средняя чистота руды в обеих половинах составляет M … Проведем еще один воображаемый разрез, разделяющий месторождение уже на четыре части с одинаковым тоннажем ¼W и средними степенями чистоты (1+d)²M, (1+d)(1−d)M, (1+d)(1−d)M и (1−d)²M. После третьего разреза получаем 2³=8 частей, а именно: один блок со средней чистотой (1+d)³M, три блока с (1+d)²(1−d)M, три блока с (1+d)(1−d)²M и один с (1−d)³M. Несложно представить себе и дальнейшее разделение месторождения на все меньшие блоки.

Коэффициент d в качестве меры изменчивости вполне адекватно заменяет целое собрание различных трудноопределимых характеристик [милых сердцу тех, кто полагает, что оценка качества месторождения представляет собой, скорее всего искусство, чем науку], а используя основанные на этой мере статистические выводы, мы вполне способны обойтись без имеющегося в нашем распоряжении запутанного лабиринта из эмпирических правил и интуитивных методов».

Комментарий. До исследования геометрических аспектов своей модели де Вис так и не дошел, и ни он, ни его в остальных отношениях выдающиеся последователи (включая и Г. Матерона) не имели ни малейшего представления о фракталах. Однако если предположить, что плотность руды не зависит от степени ее чистоты (т.е. вес руды эквивалентен ее объему), то мы увидим, что в точности такую же модель исследовал в свое время – правда, с совершенно иными целями – теоретик А. С. Безикович вместе со своими учениками.

Забегая вперед, заметим, что если продолжить процесс де Виса (в его новой интерпретации) до бесконечности, то руда в пределе створаживается в нелакунарный фрактал. Для того чтобы записать его размерность в привычном для нас виде D=lnN^*/ln2), необходимо прежде определить lnN^* следующим образом:

lnN^*=−∑π_ilnπ_i,

где π₁=(1+d)³, π₈=(1−d)³, π₂=π₃=π₄=(1+d)²(1−d) и π₅=π₆=π₇=(1+d)(1−d)².

Заключение. Догадку де Виса можно расценивать как вдохновенное прозрение, однако коэффициент dявно непригоден в качестве меры, так как он применим только к одной модели. Подходящей мерой изменчивости руды является размерность D.

3. ВЗВЕШЕННОЕ СТВОРАЖИВАНИЕ БЕЗИКОВИЧА

Для того чтобы в должной мере оценить результаты Безиковича, следует представить их на интервале [0,1] с b=3.

Допущения. Вообразим себе некую массу, распределенную по интервалу [0,1] с единичной плотностью, и поделим ее между третями интервала с помощью неслучайного умножения на три веса W₀, W₁ и W₂, удовлетворяющих следующим условиям:

А. ⅓W₀+⅓W₁+⅓W₂=1. Это соотношение показывает, что масса сохраняется, и что каждый вес W_iограничен значением b. Величину ⅓W_i, которая представляет собой массу i - й трети, мы обозначим через π_i.

Б. Равномерное распределение W_i≡⅓ исключено.

В. W₀W₁W₂>0. Это соотношение, в частности, исключает из рассмотрения канторов случай (W₀=½, W₁=0 и W₂=½).

Последующие этапы каскада строятся аналогичным образом; например, плотность вещества в субвихрях имеет следующие значения: W₀², W₀W₁, W₀W₂, W₁W₀, W₁², W₁W₂ W₂W₀, W₂W₁, W₂².

Заключения. Итерируя до бесконечности, получаем следующие результаты (бóльшей их части мы обязаны Безиковичу и Эгглстону; отличное изложение этих результатов имеется в книге Биллингсли [34]):

А. Сингулярность. Фрактал Безиковича. Почти во всех точках плотность асимптотически приближается к нулю. Множество точек, в которых асимптотическая плотность не равна нулю (собственно, в этих точках она бесконечна), называется фракталом Безиковича В. Он представляет собой множество точек интервала [0,1], троичное разложение которых таково, что отношение

k⁻¹ (количество i в первых k «цифрах»)

сходится π_i. Такие точки образуют открытое множество: предел последовательности этих точек не обязательно должен принадлежать множеству.

Б. Нелакунарность. Предельное распределение массы является всюду плотным: не существует такого открытого интервала (сколько угодно малого), который был бы (пусть даже асимптотически) совершенно пуст. На интервале от 0 до t масса строго возрастает вместе с t. Хотя относительное количество точек, в которых ∏^Wне сходится к нулю, очень мало, абсолютного их количества вполне достаточно для того, чтобы масса, заключенная внутри любого интервала [t',t"], имела ненулевой предел при k→∞.

В. Размерность Хаусдорфа – Безиковича множества B. Эта размерность равна