Фрактальная геометрия природы

Модифицированная функция Вейерштрасса, самоаффинная относительно фокального времениt=0. Самая простая процедура, позволяющая продолжить частотный спектр f^−2H функции Вейерштрасса до значения f=0 и избежать при этом катастрофических последствий, состоит из двух этапов: сначала получаем выражение W₀(0)−W₀(t), и лишь затем позволяем n принимать любое значение от −∞ до +∞. Добавочные члены, соответствующие значениям n<0, при 0 сходятся, а их сумма непрерывна и дифференцируема. Модифицированная таким образом функция

по-прежнему является непрерывной, но нигде не дифференцируемой.

Вдобавок, она масштабно - инвариантна в том смысле, что

=w^−m[W₁(t)−W₀(0)].

Таким образом, функция =w^−m[W₁(b^mt)−W₀(0)] не зависит от m. Можно сказать иначе: при r=b^m функция r^−H[W₁(rt)−W₀(0)] не зависит от h . То есть функция W₁(r)−W₀(0), ее вещественная и мнимая части самоаффинны относительно значений r вида b^−m и фокального времени t=0.

Гауссовы случайные функции с обобщенным спектром Вейерштрасса. Следующим шагом на пути к реализму и широкой применимости является рандомизация обобщенной функции Вейерштрасса. Простейший и наиболее естественный метод заключается в умножении ее коэффициентов Фурье на независимые комплексные гауссовы случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Вещественная и мнимая части получаемой в результате функции могут с полным правом называться функциями Вейерштрасса – Гаусса (модифицированными). В некоторых смыслах эти функции можно считать приближенными дробными броуновскими функциями. Когда значения H совпадают, их спектры настолько похожи, насколько позволяет то обстоятельство, что один из этих спектров непрерывен, а другой дискретен. Более того, к функциям Вейерштрасса – Гаусса применимы результаты Орея [457] и Маркуса [412] (см. с. 490), а фрактальные размерности их множеств уровня совпадают с фрактальными размерностями множеств уровня дробных броуновских функций.

Фрактальные свойства. Согласно теореме, доказанной в работах [317] и [30] (см. раздел эвристика липшица – Гёльдера), фрактальная размерность графика функции с некоторым показателем H, удовлетворяющей при всех x условию Липшица, находится в интервале от 1 до 2−H . Известно, что в случае броуновской функции с тем же кумулятивным спектром f^−2H размерность принимает наибольшее возможное значений 2−H=D. Я предполагаю, что то же верно и для кривой Вейерштрасса. А размерность ее нуль – множества равна 1−H.

Нуль - множества родственных функций. Функции Радемахера представляет собой «ступенчатые» варианты синусоид вида sin(2πbⁿt), где b=2. Когда синус положителен (отрицателен, обращается в нуль), значение функции Радемахера равно 1 (соответственно, −1 и 0) (см. [616], I, с. 202). Естественным обобщением функции Вейерштрасса является ряд, n - й член которого представляет собой произведение wⁿ на n - ю функцию Радемахера. Эта обобщенная функция разрывна, однако ее спектральный показатель по-прежнему равен 2H. Учитывая прецедент в лице дробного броуновского движения, можно предположить, что размерность нуль – множеств функции Вейерштрасса – Радемахера окажется равной 1−H. Это предположение находит подтверждение в [31], однако только для целочисленных 1/H.

Сингх [526] упоминает о многих других вариантах функции Вейерштрасса. Размерность D нуль – множеств некоторых из них легко поддается оценке. Вообще, эта тема явно заслуживает более подробного исследования с учетом достижений современной теоретической мысли.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И КОХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

Классическое определение характеристической функции J(t) при заданном множестве S имеет следующий вид: J(x)=1, если x∈S, и J(x)=0, если x∉S. Когда множество S представляет собой канторово множество (салфетку или ковер) Серпинского, фрактальную сеть или любое множество из нескольких других классов фракталов, функция J(x) не совсем удобна. На мой взгляд, часто бывает удобнее заменить функцию J(x) другой функцией C(x), которую ввел я и которую предлагаю назвать кохаристической.

Функция C(x) представляет собой случайно взвешенное среднее характеристических функций пустот множества S. Иными словами, в каждом отдельном пустом промежутке C(x) постоянна, а ее значения в других пустотах являются независимыми случайными величинами с одинаковым распределением.

Под старым и часто неверным названием ядерной функции функция C(x) вводится и исследуется в работах [347, 352, 357].

ХАУСДОРФОВА МЕРА И РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА