Фрактальная геометрия природы

Американский ученый Джордж Кингсли Ципф начинал свою научную карьеру филологом, однако впоследствии переименовал себя в «эколога – статистика человека». В течение двадцати лет он преподавал в Гарвардском университете и успел незадолго до смерти издать (по всей видимости, за собственный счет) свой главный труд «Человеческое поведение и принцип наименьшего усилия» (см. [615]).

Это одна из тех книг ([152] можно отнести к этому же разряду), в которых искры гениальности, озаряющие многие прежде темные закоулки, теряются в нагромождениях сумасбродных идей и нелепых крайностей. С одной стороны, в ней обсуждается форма половых органов и оправдывается насильственное включение Австрии в состав фашистской Германии (причем в качестве главной причины называется улучшение соответствия некой математической формулы). С другой стороны, она доверху набита цифрами и таблицами, всевозможными способами, указывающими на существование эмпирического закона, который заключается в том, что наилучшее сочетание математического удобства и эмпирического соответствия в социологической статистике достигается использованием масштабно-инвариантного распределения вероятностей. Некоторые примеры из книги Ципфа рассматриваются в главе 38.

В «законах Ципфа» ученые – естествоиспытатели видят аналоги скейлинговых законов – которые, будучи подкреплены экспериментальными данными, вовсе не вызывают у физиков и астрономов каких-либо особенных эмоций. Таким образом, физикам будет весьма сложно вообразить, насколько яростным оказалось противодействие, когда Ципф – как и незадолго до него Парето – применил тот же подход (с теми же результатами) к общественным наукам. До сих пор не прекращаются разнообразные попытки авансом дискредитировать всякие экспериментальные данные, полученные с помощью дважды логарифмических графиков. Я, со своей стороны, полагаю, что этот метод не вызвал бы столь ожесточенной полемики, если бы не выводы, к каким он неизбежно подталкивает. К сожалению, дважды логарифмический линейный график указывает на распределение, бросающее прямой вызов гауссовой догме, которая успела за долгие годы привыкнуть к безраздельному царствованию и не терпит соперников. Практикующие статистики и социологи предпочли проигнорировать открытия Ципфа, чем отчасти и объясняется то поразительное отставание в развитии, какое мы наблюдаем ныне в общественных науках.

Ципф проявил достойный энциклопедистов пыл при сборе примеров проявлений гиперболических законов в общественных науках и непреклонную стойкость при защите своих открытий (равно как и аналогичных открытий, сделанных другими) от посягательств недругов. Однако читателю настоящего эссе, без сомнения, уже ясно, что фундаментальная идея Ципфа в корне неверна. Феномены, изучаемые общественными науками, далеко не всегда демонстрируют гиперболическую плотность распределения, в случае же явлений природы плотность распределения далеко не всегда оказывается гауссовой. Еще более серьезным недостатком является то, что Ципф не объединил свои открытия в стройную логически осмысленную структуру, а лишь связал их друг с другом с помощью пустых словесных рассуждений.

Одним из поворотных событий своей жизни (см. главу 42) я считаю прочтение очень мудрой рецензии на «Человеческое поведение», написанной математиком Дж. Л. Уолшем. Эта рецензия, посвященная, в основном, положительным сторонам книги, оказала большое влияние на мою тогдашнюю научную работу, косвенные последствия чего я ощущаю до сих пор. Таким образом, можно сказать, что я многим обязан Ципфу, но лишь благодаря посредничеству Уолша.

В остальном же влияние Ципфа вряд ли окажется сколько-нибудь значительным. Его пример может служить наглядной – если не карикатурной – демонстрацией тех чрезвычайно сложных проблем, которые неизбежно сопутствуют всякой попытке междисциплинарного подхода в науке.

Я искренне надеюсь, дорогой читатель,

что ты задашь еще много вопросов на мои ответы.

Этот рисунок, датированный 30 января 1964 года,

публикуется с любезного разрешения мсье Жана Эффеля.

41 ИСТОРИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ

«Завершив строительство здания, следует убрать леса». Это изречение Гаусса часто приводят себе в оправдание те математики, которые избегают рассказывать о причинах, побуждающих их заниматься теми или иными исследованиями, и забывают об истории своей области. К счастью, в последнее время набирает силу иная тенденция, и многочисленные отступления в данном эссе служат красноречивым показателем того, какой из двух сочувствую лично я. Как бы то ни было, у меня осталось несколько историй, которые слишком велики для отступлений, но могут оказаться занятными и поучительными. Сюда входят и разрозненные трофеи, собранные мною во время библиотечных набегов, спровоцированных моим нынешним увлечением Лейбницем и Пуанкаре.

АРИСТОТЕЛЬ И ЛЕЙБНИЦ, ВЕЛИКАЯ ЦЕПЬ БЫТИЯ, ХИМЕРЫ И ФРАКТАЛЫ