Фрактальная геометрия природы

Перколяция на решетках: испытание модели из главы 13. Указанная фрактальная модель контактных кластеров в бернуллиевой перколяции, предложенная в главе 13, прямо-таки напрашивается на экспериментальную проверку. Спешу вас обрадовать: просьба удовлетворена.

В работе [642] определено число узлов в кластере на расстоянии от начала координат, меньшем R, и установлено верное значение размерности D~1,9. Кроме того, из перехода между фрактальной областью и областью однородности получено значение ξ.

Перколяция в тонких пленках золота и свинца. Бернуллиева перколяция является, безусловно, математическим процессом. Хаммерсли вводит ее в надежде, что с ее помощью можно будет проиллюстрировать и тем самым прояснить многие природные феномены. Применимость фрактальной геометрии к бернуллиевой перколяции была опробована на примере гнусного золота [668] и благородного свинца [641].

Исследователи Au приготовили тонкие пленки при комнатной температуре посредством электронного напыления на окна из аморфного Si₃N₄ толщиной 30 нм, выращенные на кремниевой подложке. Пленкам была придана переменная толщина, в результате чего вместо одного образца получился целый ряд образцов – от полностью изолирующих до электропроводящих. Предсказания главы 13 оказались верными до последней запятой.

Низколакунарные фрактальные модели некоторых формальных пространств в физике [630]

В статистической физике считается, что иногда полезно постулировать то или иное пространство с дробной размерностью. Математиков же такие пространства выводят из душевного равновесия: мало того, что эти пространства никто нигде не строит, никто даже не берет на себя труд доказать их существование и единственность. Тем не менее, физики получают весьма существенные результаты, исходя из допущения, что упомянутые пространства действительно существуют и вдобавок обладают определенными сильными и желательными свойствами: они инвариантны при смещении, а их интегралы количества движения и рекуррентные соотношения можно получить из евклидовых пространств с помощью формального аналитического продолжения.

Пространства с дробной размерностью способны привести исследователя фракталов в замешательство. С одной стороны, существует большое количество альтернативных фрактальных интерполяционных пространств, и, следовательно, можно говорить о неопределенной интерполяции. С другой стороны, фракталы, которые мы в работе [165] применили для описания физических явлений, вовсе не являются инвариантными при смещении. В этом отношении может создаться впечатление, что фракталы не так хороши, как постулированные пространства с дробной размерностью.

Решение этой проблемы было подсказано аналогичной критикой, направленной в адрес моей первой модели распределения галактик. На тот случай, когда для фрактала невозможна точная инвариантность при смещении, в главах 34 и 35 показано, что можно подойти к инвариантности сколько угодно близко, придав достаточно малое значение лакунарности.

С этой точки зрения в работе [630] рассмотрена некая последовательность ковров Серпинского (см. главу 14), лакунарность которых стремится к нулю. Вычислены некоторые физические свойства и показано, что предельные фракталы с нулевой лакунарностью идентичны по своим свойствам постулированным пространствам с дробной размерностью.

Салфетка Серпинского: Игрушка для физиков

Легко управляемые модели настолько милы сердцу физика, что любая конструкция, обещающая возможность выполнения вычислений без необходимости в приближениях привлекает самое широкое внимание.

Среди разветвленных фигур, рассмотренных в главе 14, наиболее важной является салфетка Серпинского, однако с ней и труднее всего работать. Тем не менее, манипуляциям она не поддается. Некоторые такие манипуляции, забавные и полезные, проведены в работах [663, 656, 657, 617].

Вопреки своему обыкновению, я выбрал для обозначения этой фигуры термин (салфетка Серпинского), не имеющий прямого французского эквивалента. Составители математического словаря не поняли, что под словом gasket я имел в виду ту деталь двигателя, которая предотвращает просачивание жидкости, а обычный словарь отправил их к кораблям и веревкам, т.е. к baderne и garcette. Поскольку смысл моего термина никак не мог соответствовать этим толкованиям, термин переопределили и обозначили им дополнение к тому, что он обозначал изначально! На мой взгляд, здесь лучше подошло бы другое французское слово tamis, т.е. «сито» или «решето».

Клеточные автоматы и фракталы