Фрактальная геометрия природы

В случае генератора A предтворог на каждом этапе построения представляет собой связное множество, а предельный фрактал оказывается кривой — примером может служить чрезвычайной важности конструкция (называемая ковром Серпинского), которую мы подробно рассмотрим в главе 14.

В случае генератора Д предтворог распадается на несвязные участки, максимальный линейный масштаб которых неуклонно уменьшается по мере того, как k→∞. Предельный фрактал представляет собой пыль, аналогичную той, что мы наблюдали в модели Фурнье (глава 9).

Генераторы Б, В и Г более интересны: здесь предтворог распадается на части, которые мы назовем предкластерами. Можно сказать, что на каждом этапе «старые» предкластеры преобразуются в более тонкие и извилистые конструкции и появляются «новые» предкластеры. Посредством тщательного выбора генераторов мы добиваемся того, что каждый новорожденный предкластер оказывается целиком заключен в одной-единственной ячейке наимельчайшей решетки предыдущего этапа построения. По контрасту с «перекрестно сосредоточенными кластерами» следующего раздела я предлагаю назвать эти кластеры «рассредоточенными». Таким образом, размерность предельных контактных кластеров имеет вид lnN_c/lnb, где N_c — целое число, не превышающее количества ячеек в самом большом компоненте генератора. Значение N_c достигает своего максимума, т. е. становится равным количеству ячеек, в случае генераторов Б и В, чьи контактные кластеры представляют собой, соответственно, интервалы с D_c=1 и фрактальные деревья с D_c=ln7/ln4. Во фрактале же, построенном с помощью генератора Г, величина N_c максимума не достигает: в этом случае F-обрачные предкластеры продолжают разделяться на все более мелкие части, и в пределе мы снова получаем прямые интервалы с D_c=1.

Соотношение между диаметром и количеством и другие выводы предыдущего раздела остаются в силе и в том случае, если заменить псевдо-сосиску Минковского совокупностью ячеек со стороной b^−k, частично совпадающей с каким-либо контактным кластером.

ПЕРЕКРЕСТНО СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ КЛАСТЕРЫ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ПРИ СТВОРАЖИВАНИИ

Придадим генератору плоского створаживания одну из приведенных ниже форм (справа от каждого генератора показан результат следующего этапа построения):

Оба случая демонстрируют массивное «перекрестное сосредоточение», т. е. каждый новорожденный предкластер соединяет в себе элементы, принадлежащие на предыдущем этапе построения нескольким ячейкам наимельчайшей решетки.

В контексте кохова построения аналогичная ситуация возникает в том случае, когда допускается самокасание терагонов, в результате чего происходит слияние малых кластеров. В обоих случаях анализ довольно громоздок, и мы не можем останавливаться на нем подробно. Скажем лишь, что для малых λ соотношение Nr(Λ>λ)∝λ^−D остается верным.

< Если кто-нибудь все же попытается оценить величину D на основании этого соотношения, не исключив из рассмотрения больших λ, то полученная оценка будет систематически отклоняться от истинного значения, оказываясь, как правило, меньше него. ►

Величина b^Dc приобретает новые, неизвестные ранее свойства. Нет, например, необходимости в том, чтобы она обязательно была целым числом, выводимым из формы генератора путем простого наблюдения; она может быть и дробью. Причина заключается в том, что каждый контактный кластер сочетает в себе: (а) целое число своих собственных версий, уменьшенных с коэффициентом 1/b, и (б) множество уменьшенных версий, возникающих при сосредоточении, причем коэффициентами подобия здесь являются меньшие соотношения вида r_m=b^−k(m). Переписав генерирующее размерность уравнение ∑r_m^D=1 (см. с. 87) в переменных x=b^−D, получим уравнение ∑a_mx^m=1. Случаи, когда 1/x — целое число, могут рассматриваться лишь как исключения.

ПРИРУЧЕНИЕ ЗАУЗЛЕННЫХ ЧУДОВИЩ ПЕАНО

Створаживанием нельзя получить заполняющую плоскость совокупность кластеров (D=2), однако я обнаружил возможность альтернативного подхода к задаче: нужно лишь воспользоваться кривыми Пеано — правда, несколько иными, нежели те, что были приручены в главе 7. Как читатель, несомненно, помнит, кривые Пеано, терагоны которых избегают самопересечений, порождают деревья рек и водоразделов. Другие терагоны Пеано (например, терагоны на рис. 95, если оставить углы нескругленными) представляют собой просто заполненные ячейки решетки. По мере продолжения построения пустые ячейки, разделяемые такими кривыми, «сходятся» в повсюду плотную пыль (например, состоящую из точек, ни одна координата которых не кратна b^−k).

Между этими крайностями существует еще один весьма интересный класс кривых Пеано. Ниже представлен примерный генератор одной такой кривой вместе с результатом следующего этапа построения: