Фрактальная геометрия природы

Распределение диаметра, наделенного массой. Заметим, что величина Nr(Λ>λ) представляет собой количество строк, расположенных выше строки с номером λ в списке, в котором перечисляются контактные кластеры в порядке уменьшения их размеров. Однако сейчас нам необходимо сопоставить каждому контактному кластеру количество строк, равное его массе. Как нетрудно убедиться, окончательное выражение имеет вид

Wnr(Λ>λ)∝λ^−D+Dc.

МАССОВЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ Q=2D C -D

Обозначим фрактал размерности D, рекурсивно построенный из инициатора [0, Λ], через F и примем его общую массу за Λ^D. Если F — канторова пыль, то, как нам известно из главы 8, масса M(R), содержащаяся в диске радиуса R<Λ с центром в нуле, пропорциональна R^D. < Величина ln[M(R)R^−D] представляет собой периодическую функцию от log_b(Λ/R), однако мы не станем задерживаться на этих сложностях, так как они исчезают, стоит лишь модифицировать фрактал таким образом, чтобы все значения r>0 оказались допустимыми коэффициентами самоподобия. ►

Мы знаем, что правило M(R)∝R^D применимо также к кривой Коха (см. главу 6). Кроме того, оно распространяется и на рекурсивные острова и кластеры, рассматриваемые в этой главе, только D следует заменить на D_c. Во всех случаях масса, содержащаяся в диске радиуса R с центром в нуле, определяется выражением

M(R,Λ)=R^Dcφ(R/Λ),

гдеφ — функция, выводимая из формы фрактала F. В частности:

M(R,Λ)∝R^Dcпри R≪Λ;

M(R,Λ)∝Λ^Dcпри R≫Λ.

Рассмотрим теперь среднее взвешенное значение M(R) в случае, когда Λ изменяется в соответствии с весьма широким гиперболическим распределением Wnr(Λ>λ)∝λ^−D+Dc, и обозначим это среднее через . Известно, что 1≤D_c. Исключив сочетание D=2 и D_c=1, можно записать 0_cc. Следовательно,

∝R^Q, где Q=2D_c−D>0.

Когда центр диска находится не в точке 0, а в какой-либо другой точке фрактала F, изменяется только коэффициент пропорциональности, тогда как показатель остается неизменным. Не изменяется он и при усреднении по всем положениям центра в F, и при замене интервала [0, 1] другим инициатором. < Обычно берут дугу кривой произвольной длины Λ и произвольной же формы. Вышеприведенные формулы для M(R,Λ) применимы и для , усредненного по всем формам. Окончательный результат всегда одинаков. ►

Замечание. Предыдущее рассуждение никак не зависит от топологии кластеров — они могут быть петлями, интервалами, деревьями или чем-нибудь еще.

Вывод. Формула ∝R^Q показывает, что при гиперболическом распределении величины Λ и, как следствие, очень широком ее разбросе, одну из существенных ролей размерности берет на себя некий показатель, отличный от D. Обычно он равен 2D_c−D, однако различные весовые функции дают различные показатели Q.

Предостережение: не всякий массовый показатель является размерностью. Составная величина Q представляет собой весьма важную характеристику. А так как это массовый показатель, возникает искушение назвать его размерностью, однако это искушение ничем не обосновано. При слиянии различных кластеров с одинаковой размерностью D_c, но разными Λ, D_c не изменяется, поскольку размерность — это не свойство совокупности различных множеств, но свойство каждого отдельного множества. И D, и D_c являются фрактальными размерностями, a Q — нет.

Обобщая, можно сказать, что во многих областях физики известны соотношения вида ∝R^Q однако сама по себе эта формула еще не гарантирует того, что Q непременно будет фрактальной размерностью. Называть же Q эффективной размерностью, как предлагают некоторые авторы, все равно, что попусту сотрясать воздух, так как Q не обладает ни одним из остальных свойств, характеризующих D как размерность (например, суммы или произведения размерностей D имеют смысл, которому нет аналогов в случае Q). Более того, эти пустые слова оказываются источником возможных недоразумений.

РАССРЕДОТОЧЕННЫЕ КЛАСТЕРЫ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ПРИ СТВОРАЖИВАНИИ

Существует еще два метода построения контактных кластеров. Первый основан на створаживании и применим в случае D<2, второй использует кривые Пеано и пригоден для случая D=2. Читатели, интересующиеся перколяцией, могут пропустить этот и следующий за ним разделы.

Начнем с замены построения Коха естественным обобщением кан- торова створаживания на плоскость. В качестве иллюстрации на нижеследующем рисунке представлены пять примеров генераторов, под которыми помещены последующие этапы построения:

Во всех этих случаях предельный фрактал имеет нулевую площадь и не содержит внутренних точек. Его топология зависит от формы генератора и может быть весьма разнообразной.